Giải bất phương trình: $\sqrt {{x^2} - 8x + 15} + \sqrt {{x^2} + 2x - 15} \le \sqrt {4{x^2} - 18x + 18} \left( * \right)$
Giải:
Ta có: $\left( * \right) \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x - 3} \right)\left( {x - 5} \right)} + \sqrt {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right)} \le \sqrt {\left( {x - 3} \right)\left( {4x - 6} \right)} $
Điều kiện: $x \in \left( { - \infty ; - 5} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)$
*) Xét $x \in \left( { - \infty ; - 5} \right]$ khi đó: $\sqrt { - \left( {x + 1} \right)} \left( {\sqrt {3 - x} + \sqrt {5 - x} - \sqrt {6 - 4x} } \right) \le 0.$
$ \Leftrightarrow \sqrt {5 - x} + \sqrt { - \left( {x + 5} \right)} \le \sqrt {6 - 4x} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 25} \le 3 - x.$
Khi $x \in \left( { - \infty ; - 5} \right] \Rightarrow {x^2} - 25 \le {x^2} - 6x + 9 \Leftrightarrow 6x \le 34 \Leftrightarrow x \le - 5.$
*) Xét $\ x \in \left[ {5;\, + \infty } \right) \Rightarrow \sqrt {x - 3} \left( {\sqrt {x - 5} + \sqrt {x + 5} - \sqrt {4x - 6} } \right) \le 0.$
$\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 5} + \sqrt {x + 5} \le \sqrt {4x - 6} \Leftrightarrow x \le \frac{{17}}{3} \Rightarrow 5 \le x \le \frac{{17}}{3}.$
Vậy tập nghiệm của BPT là: $S = \left[ {5;\frac{{17}}{3}} \right] \cup \left\{ { - 5} \right\}$
