Đề bài: (Câu hỏi của bạn Chuối Shady hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn x+y+z=xyz. CMR:$\ xy + yz + zx \ge 3 + \sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{y^2} + 1} + \sqrt {{z^2} + 1} .$
Giải:
Trước hết thầy chứng minh lại cho con công thức:
"Nếu A, B, C là các góc của tam giác ABC thì: tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC"
Thật vậy, $\ \tan C = \tan \left[ {\pi - \left( {A + B} \right)} \right] = - \tan \left( {A + B} \right) = - \frac{{\tan \,A + \tan B}}{{1 - \tan \,A\,\tan B}} = \frac{{\tan \,A + \tan B}}{{\tan \,A\,\tan B - 1}}.$
$\ \Leftrightarrow \tan C\left( {\tan \,A\,\tan B - 1} \right) = \tan \,A + \tan B \Leftrightarrow \tan \,A + \tan B + \tan C = \tan A\,.tanB.\tan C.$
Thứ Hai, 30 tháng 6, 2014
Mỗi ngày một tính chất hình Oxy.
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Shini Chan hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5,-7) , M là điểm sao cho$\ \overrightarrow {3MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 .$
Điểm C thuộc đường thẳng $\ {d_1}:x - y + 4 = 0.$. Đường thẳng đi qua D và M là $\ 7x - 67 - 57 = 0.$. Tìm tọa độ của B và C , biết điểm B có hoành độ âm.
Giải:
Gọi N là giao điểm của AC và DM.
Dễ dàng chứng minh tam giác ANM đồng dận với CND.
$\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{AN}}{{CN}} = \frac{{AM}}{{CD}} = \frac{{AM}}{{AB}}\\
\overrightarrow {3MA} + \overrightarrow {MB} = \vec 0
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{AN}}{{CN}} = \frac{1}{4} \Rightarrow 4\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AC} .$
Đọc tiếp
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5,-7) , M là điểm sao cho$\ \overrightarrow {3MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 .$
Điểm C thuộc đường thẳng $\ {d_1}:x - y + 4 = 0.$. Đường thẳng đi qua D và M là $\ 7x - 67 - 57 = 0.$. Tìm tọa độ của B và C , biết điểm B có hoành độ âm.
Giải:
Dễ dàng chứng minh tam giác ANM đồng dận với CND.
$\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{AN}}{{CN}} = \frac{{AM}}{{CD}} = \frac{{AM}}{{AB}}\\
\overrightarrow {3MA} + \overrightarrow {MB} = \vec 0
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{AN}}{{CN}} = \frac{1}{4} \Rightarrow 4\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AC} .$
Thứ Năm, 26 tháng 6, 2014
Ba cẩm nang thầy chuẩn bị cho các em tuần sau "ra trận".
$pageIn
$pageOut $pageIn
$pageOut $pageIn
$pageOut $pageIn
$pageOut
$pageOut $pageIn
$pageOut $pageIn
$pageOut $pageIn
-----------------------Hẹn gặp lại trong bài khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau-----------------
$pageOut
Sử dụng PP hàm số, giải HPT.
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Quỳnh Trang hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Giải hệ phương trình:$\ \left\{ \begin{array}{l}
2y\left( {4{y^2} + 3{x^2}} \right) = {x^4}\left( {{x^2} + 3} \right)\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
{2^x}\left( {\sqrt {2y - 2x + 5} - x + 1} \right) = 4\,\,\left( 2 \right)\,
\end{array} \right.$
Giải:
Ta xét x = 0 khi đó y = 0, thế vào (2) ta thấy vô lí. Vậy khi đó ta chia cả 2 vế của (1) cho $\ {x^3}$:
$\ \left( 1 \right) \Leftrightarrow 8{y^3} + 6{x^2}y = {x^6} + 3{x^4} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{2y}}{x}} \right)^3} + 3\left( {\frac{{2y}}{x}} \right) = {x^3} + 3x.$
Đọc tiếp
Giải hệ phương trình:$\ \left\{ \begin{array}{l}
2y\left( {4{y^2} + 3{x^2}} \right) = {x^4}\left( {{x^2} + 3} \right)\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
{2^x}\left( {\sqrt {2y - 2x + 5} - x + 1} \right) = 4\,\,\left( 2 \right)\,
\end{array} \right.$
Giải:
Ta xét x = 0 khi đó y = 0, thế vào (2) ta thấy vô lí. Vậy khi đó ta chia cả 2 vế của (1) cho $\ {x^3}$:
$\ \left( 1 \right) \Leftrightarrow 8{y^3} + 6{x^2}y = {x^6} + 3{x^4} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{2y}}{x}} \right)^3} + 3\left( {\frac{{2y}}{x}} \right) = {x^3} + 3x.$
Thứ Tư, 25 tháng 6, 2014
Lập PT đường thẳng không cần biết toạ độ 1 cặp điểm.
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Burglar Tobi Tobi hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): $\ {\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 4.$ Và điểm E(4;1). Tìm toạ độ điểm M trên trục tung, sao cho từ M kẽ được 2 tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A,B là các tiếp điểm) sao cho AB đi qua E.
Giải:
Vì MA là tiếp tuyến nên MA vuông góc IA (I là tâm của (C)).
Gọi M(0;m) thuộc Oy $\ \Rightarrow M{I^2} = {m^2} + 16.$
Áp dụng Pi-ta-go vào tam giác vuông AMI ta có:
$\ A{M^2} = M{I^2} - {R^2} = {m^2} + 12.$
Khi đó đường tròn (C') tâm M bán kinh MA có PT:
$\ {x^2} + {\left( {y - m} \right)^2} = {m^2} + 12 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2my = 12.$
Khi đó toạ độ của A và B là nghiệm của HPT:
$\ \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 4\\
{x^2} + {y^2} - 2my = 12
\end{array} \right. \Rightarrow 4x - my - 12 = 0.$
Đọc tiếp
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): $\ {\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 4.$ Và điểm E(4;1). Tìm toạ độ điểm M trên trục tung, sao cho từ M kẽ được 2 tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A,B là các tiếp điểm) sao cho AB đi qua E.
Giải:
Gọi M(0;m) thuộc Oy $\ \Rightarrow M{I^2} = {m^2} + 16.$
Áp dụng Pi-ta-go vào tam giác vuông AMI ta có:
$\ A{M^2} = M{I^2} - {R^2} = {m^2} + 12.$
Khi đó đường tròn (C') tâm M bán kinh MA có PT:
$\ {x^2} + {\left( {y - m} \right)^2} = {m^2} + 12 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2my = 12.$
Khi đó toạ độ của A và B là nghiệm của HPT:
$\ \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 4\\
{x^2} + {y^2} - 2my = 12
\end{array} \right. \Rightarrow 4x - my - 12 = 0.$
Mỗi ngày một tính chất hình Oxy...
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Yến Nguyễn hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A và phân giác ngoài góc B lần lượt là x=2 và x+y+7=0. I(-1/2;1), J(2;1) lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC. Tìm toạ độ của A,B,C.
Giải:
Dễ thấy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên BI là phân giác trong của góc B.
Do tính chất: "Phân giác trong và phân giác ngoài của cùng một góc vuông góc với nhau" nên ta có:
$\ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{\overrightarrow n _{BJ}} = \left( {1; - 1} \right)\\
J\left( {2;1} \right) \in BJ
\end{array} \right. \Rightarrow BJ:x - y - 1 = 0\\
\Rightarrow B = BJ \cap x + y + 7 = 0 \Rightarrow B\left( { - 3; - 4} \right)\\
\Rightarrow R = BI = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}\\
\Rightarrow \left( {ABC} \right):{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = \frac{{125}}{4}\\
\Rightarrow A\left( {{x_A};{y_A}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {{x_A} + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {{y_A} - 1} \right)^2} = \frac{{125}}{4}\\
{x_A} = 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
A\left( {2;6} \right)\\
A\left( {2; - 4} \right)
\end{array} \right.
\end{array}.$
Đọc tiếp
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A và phân giác ngoài góc B lần lượt là x=2 và x+y+7=0. I(-1/2;1), J(2;1) lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC. Tìm toạ độ của A,B,C.
Giải:
Do tính chất: "Phân giác trong và phân giác ngoài của cùng một góc vuông góc với nhau" nên ta có:
$\ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{\overrightarrow n _{BJ}} = \left( {1; - 1} \right)\\
J\left( {2;1} \right) \in BJ
\end{array} \right. \Rightarrow BJ:x - y - 1 = 0\\
\Rightarrow B = BJ \cap x + y + 7 = 0 \Rightarrow B\left( { - 3; - 4} \right)\\
\Rightarrow R = BI = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}\\
\Rightarrow \left( {ABC} \right):{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = \frac{{125}}{4}\\
\Rightarrow A\left( {{x_A};{y_A}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {{x_A} + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {{y_A} - 1} \right)^2} = \frac{{125}}{4}\\
{x_A} = 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
A\left( {2;6} \right)\\
A\left( {2; - 4} \right)
\end{array} \right.
\end{array}.$
Thứ Ba, 24 tháng 6, 2014
Mỗi ngày một phát hiện mới trong hình Oxy.
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Han Tri và bạn Yến Nguyễn cùng hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy,
cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn T tâm I(0,5). Đường AI cắt đường tròn tại M(5,0) (M khác A). Đường cao đi qua C cắt đường tròn T tại N(-17/5; -6/5) (N khác C). Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C biết hoành độ điểm B lớn hơn 0.
Giải:
Do I là trung điểm của đường kính AM nên ta dễ dàng có được A(-5;10). Và ta có tam giác BMN cân ở B.
* Phát hiện điểm mấu chốt của bài toán:
Do ABC cân ở A nên AM là đường trung trực của BC, khi đó: MB=MC(1). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.
Đọc tiếp
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy,
Giải:
Do I là trung điểm của đường kính AM nên ta dễ dàng có được A(-5;10). Và ta có tam giác BMN cân ở B.
* Phát hiện điểm mấu chốt của bài toán:
Do ABC cân ở A nên AM là đường trung trực của BC, khi đó: MB=MC(1). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.
Thứ Bảy, 21 tháng 6, 2014
Hình học không gian giành cho khối D.
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Khoai Lang Tím hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD, AB= a , AC= 2a, SA vuông góc với mp (ABCD), SC tạo với mp (SAB) 1 góc 30 độ, M thuộc AB sao cho BM=3MA. Tính thể tích hình chóp S.DCM và khoảng cách từ A đến mp (SCM).
Giải:
Đọc tiếp
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD, AB= a , AC= 2a, SA vuông góc với mp (ABCD), SC tạo với mp (SAB) 1 góc 30 độ, M thuộc AB sao cho BM=3MA. Tính thể tích hình chóp S.DCM và khoảng cách từ A đến mp (SCM).
Giải:
Mỗi ngày một tính chất hình Oxy.
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Bống Còi hỏi qua facebook Trợ Giúp Toán Học)
Đọc tiếp
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có BC=2AB. Phương trình đường trung tuyến xuất phát từ B là x+y-2=0. Góc ABC = 120 độ, điểm A(3;1). Tìm tọa độ của B và C.
Giải:
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AC, BC và AM.
Do $\ AB = \frac{{BC}}{2} = BN;PA = PN \Rightarrow BP \bot AN \Rightarrow \widehat {PBN} = {60^0};\widehat {PNB} = {30^0}.$
Bắt đầu học về Cauchy và Cauchy-Schwarz.
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Không Quan Tâm hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho các số thực dương a, b, c, d. CMR: $\ S = \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + d}} + \frac{c}{{d + a}} + \frac{d}{{a + b}} \ge 2\left( * \right).$
Giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\[\begin{array}{l}
{\left( {a + b + c + d} \right)^2}\\
= {\left( {\sqrt {a\left( {b + c} \right)} .\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt {b + c} }} + \sqrt {b\left( {c + d} \right)} \frac{b}{{\sqrt {c + d} }} + \sqrt {c\left( {d + a} \right)} \frac{c}{{\sqrt {d + a} }} + \sqrt {d\left( {a + b} \right)} \frac{d}{{\sqrt {a + b} }}} \right)^2}\\
\le \left( {ab + ac + bc + bd + cd + ca + da + db} \right)\left( {\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + d}} + \frac{c}{{d + a}} + \frac{d}{{a + b}}} \right)\\
= \left( {ab + bc + cd + da + 2ca + 2db} \right).\,S
\end{array}\]
Đọc tiếp
Cho các số thực dương a, b, c, d. CMR: $\ S = \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + d}} + \frac{c}{{d + a}} + \frac{d}{{a + b}} \ge 2\left( * \right).$
Giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\[\begin{array}{l}
{\left( {a + b + c + d} \right)^2}\\
= {\left( {\sqrt {a\left( {b + c} \right)} .\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt {b + c} }} + \sqrt {b\left( {c + d} \right)} \frac{b}{{\sqrt {c + d} }} + \sqrt {c\left( {d + a} \right)} \frac{c}{{\sqrt {d + a} }} + \sqrt {d\left( {a + b} \right)} \frac{d}{{\sqrt {a + b} }}} \right)^2}\\
\le \left( {ab + ac + bc + bd + cd + ca + da + db} \right)\left( {\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + d}} + \frac{c}{{d + a}} + \frac{d}{{a + b}}} \right)\\
= \left( {ab + bc + cd + da + 2ca + 2db} \right).\,S
\end{array}\]
Thứ Sáu, 20 tháng 6, 2014
Bắt đầu học bắt đẳng thức...
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Hữu Tường's hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn xyz=1. Tìm Min $\ P = \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} + yz} + \sqrt {{y^2} + zx} + \sqrt {{z^2} + xy} }}.$
Giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
$\ \begin{array}{l}
\sqrt {{x^2} + yz} + \sqrt {{y^2} + zx} + \sqrt {{z^2} + xy} \le \sqrt {3\left( {{x^2} + yz + {y^2} + zx + {z^2} + xy} \right)} \\
= \sqrt {3{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - 3\left( {xy + yz + zx} \right)} = \sqrt {3{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - 3\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)} \\
\le \sqrt {3{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - \frac{{27}}{{x + y + z}}} \Rightarrow {P^2} \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^5}}}{{3{{\left( {x + y + z} \right)}^3} - 27}}
\end{array}$
Đọc tiếp
Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn xyz=1. Tìm Min $\ P = \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} + yz} + \sqrt {{y^2} + zx} + \sqrt {{z^2} + xy} }}.$
Giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
$\ \begin{array}{l}
\sqrt {{x^2} + yz} + \sqrt {{y^2} + zx} + \sqrt {{z^2} + xy} \le \sqrt {3\left( {{x^2} + yz + {y^2} + zx + {z^2} + xy} \right)} \\
= \sqrt {3{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - 3\left( {xy + yz + zx} \right)} = \sqrt {3{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - 3\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)} \\
\le \sqrt {3{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - \frac{{27}}{{x + y + z}}} \Rightarrow {P^2} \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^5}}}{{3{{\left( {x + y + z} \right)}^3} - 27}}
\end{array}$
Thứ Năm, 19 tháng 6, 2014
Sử dụng tỉ số thể tích vào tính thể tích.
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Duy Lãm Đào hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật; AB = 2a, BC =a, các cạnh bên chóp bằng nhau và bằng $\ a\sqrt 2 .$E,F lần lượt thuộc SC, SD sao cho SE=2EC, 3SF=FD. Tính thể tích chóp S.ABEF.
Giải:
Đọc tiếp
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật; AB = 2a, BC =a, các cạnh bên chóp bằng nhau và bằng $\ a\sqrt 2 .$E,F lần lượt thuộc SC, SD sao cho SE=2EC, 3SF=FD. Tính thể tích chóp S.ABEF.
Giải:
Khi không cô lập được m.
Đề bài: (Bài của bạn Dld Ngáo Ộp hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Thầy ơi, giúp em bài này với ạ:
Tìm m để hàm số $\ y = {x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {2{m^2} - 3m + 2} \right)x + 3$ đồng biến trên $\ \left[ {2; + \infty } \right).$
Giải:
Ta có:$\ y' = 3{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - \left( {2{m^2} - 3m + 2} \right).$
Hàm số đồng biến trên $\ \left[ {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow 3{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - \left( {2{m^2} - 3m + 2} \right) > 0,\forall x \in \left[ {2; + \infty } \right).$
Đọc tiếp
Thầy ơi, giúp em bài này với ạ:
Tìm m để hàm số $\ y = {x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {2{m^2} - 3m + 2} \right)x + 3$ đồng biến trên $\ \left[ {2; + \infty } \right).$
Giải:
Ta có:$\ y' = 3{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - \left( {2{m^2} - 3m + 2} \right).$
Hàm số đồng biến trên $\ \left[ {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow 3{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - \left( {2{m^2} - 3m + 2} \right) > 0,\forall x \in \left[ {2; + \infty } \right).$
Thứ Tư, 18 tháng 6, 2014
Đếm cái không cần đếm...
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Thế Thường hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
"Thầy giúp em cái : Một tổ có 5 học sinh nữ và 8 học sinh nam. xếp ngẫu nhiên các học sinh đó vào 1 hàng. số cách xếp sao cho không có 2 học sinh nữ đứng cạnh nhau. thank thầy ạ!"
Giải:
Ta xét số cách xếp mà không quan tâm đến bất cứ điều kiện nào: Vậy có 13! cách.
- Xét số cách xếp mà có 2 cô bé đứng cạnh nhau: Vậy có $\ C_5^2.C_9^4.4!.2!$ cách.
- Xét số cách xếp mà có 3 nàng đứng cạnh nhau: Vậy có $\ C_5^3.C_9^3.3!.3!$
- Xét số cách xếp mà có 4 gái đứng cạnh nhau: Vậy có $\ C_5^4.C_9^2.2!.4!$
- Xét số cách xếp mà cả 5 ả đứng cạnh nhau: Vậy có $\ C_5^4.C_9^1.1!.5!$
Vậy số cách xếp để tách các bạn nữ đứng rời nhau là:
$\ 13! - \left( {C_5^2.C_9^4.4!.2! + C_5^3.C_9^3.3!.3! + C_5^4.C_9^2.2!.4! + C_5^5.C_9^1.1!.5!} \right).$ (cách)
"Thầy giúp em cái : Một tổ có 5 học sinh nữ và 8 học sinh nam. xếp ngẫu nhiên các học sinh đó vào 1 hàng. số cách xếp sao cho không có 2 học sinh nữ đứng cạnh nhau. thank thầy ạ!"
Giải:
Ta xét số cách xếp mà không quan tâm đến bất cứ điều kiện nào: Vậy có 13! cách.
- Xét số cách xếp mà có 2 cô bé đứng cạnh nhau: Vậy có $\ C_5^2.C_9^4.4!.2!$ cách.
- Xét số cách xếp mà có 3 nàng đứng cạnh nhau: Vậy có $\ C_5^3.C_9^3.3!.3!$
- Xét số cách xếp mà có 4 gái đứng cạnh nhau: Vậy có $\ C_5^4.C_9^2.2!.4!$
- Xét số cách xếp mà cả 5 ả đứng cạnh nhau: Vậy có $\ C_5^4.C_9^1.1!.5!$
Vậy số cách xếp để tách các bạn nữ đứng rời nhau là:
$\ 13! - \left( {C_5^2.C_9^4.4!.2! + C_5^3.C_9^3.3!.3! + C_5^4.C_9^2.2!.4! + C_5^5.C_9^1.1!.5!} \right).$ (cách)
Thứ Ba, 17 tháng 6, 2014
Rồi mọi điều tốt đẹp sẽ đến...
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Tiến Lên hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho đường tròn $\ \left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 2$ và hai điểm A(0;-4), B(4;0). Tìm toạ độ hai điểm C, D sao cho ABCD là hình thang (AB//CD) và đường tròn C nội tiếp hình thang đó.
Giải:
Đọc tiếp
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho đường tròn $\ \left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 2$ và hai điểm A(0;-4), B(4;0). Tìm toạ độ hai điểm C, D sao cho ABCD là hình thang (AB//CD) và đường tròn C nội tiếp hình thang đó.
Giải:
Mỗi ngày một phát hiện nhỏ trong hình GT Oxy.
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Viên Kẹo Sigum hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết B(3,0).
AC: x-y=0. M là trung điểm AB. H là hình chiếu của M lên BC. Cho AHC=45°.Tìm tọa độ H.
Giải:
Xét tứ giác AMHC có:
$\ \left\{ \begin{array}{l}
\widehat {MHC} = {90^0}\left( {MH \bot BC} \right)\\
\widehat {MAC} = {90^0}\left( {AB \bot AC} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow $ AMHC là tứ giác nội tiếp.
Khi đó: $\ \widehat {AHC} = \widehat {AMC} = {45^0}$ (cùng chắn cung AC)
Khi đó tam giác MAC vuông cân ở C nên AM=AC.
Ta có:$\ {\overrightarrow n _{AB}} = {\overrightarrow u _{AC}} = \left( {1;1} \right) \Rightarrow AB:x + y - 3 = 0.$
Do $\ A = AC \cap AB \Rightarrow A\left( {\frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right) \Rightarrow M\left( {\frac{9}{4};\frac{3}{4}} \right).$
Đọc tiếp
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết B(3,0).
AC: x-y=0. M là trung điểm AB. H là hình chiếu của M lên BC. Cho AHC=45°.Tìm tọa độ H.
Giải:
$\ \left\{ \begin{array}{l}
\widehat {MHC} = {90^0}\left( {MH \bot BC} \right)\\
\widehat {MAC} = {90^0}\left( {AB \bot AC} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow $ AMHC là tứ giác nội tiếp.
Khi đó: $\ \widehat {AHC} = \widehat {AMC} = {45^0}$ (cùng chắn cung AC)
Khi đó tam giác MAC vuông cân ở C nên AM=AC.
Ta có:$\ {\overrightarrow n _{AB}} = {\overrightarrow u _{AC}} = \left( {1;1} \right) \Rightarrow AB:x + y - 3 = 0.$
Do $\ A = AC \cap AB \Rightarrow A\left( {\frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right) \Rightarrow M\left( {\frac{9}{4};\frac{3}{4}} \right).$
Thứ Năm, 5 tháng 6, 2014
Hình học giải tích Oxy - Thế bí, hãy nghĩ đến bổ đề này nhé!
Hôm qua, thầy lấy lại cái đề thi ĐH khối A - 2012 làm ví dụ cho các bạn trong lớp.
Khi đứng dạy gợi ý và chữa, quả thật thầy cũng chẳng nhớ làm thế nào...Đúng là bí.
Nhưng thấy tỉ số MB=MA và NC=2ND khá đẹp...Thầy đã khái quát thành một bài toán như sau.
Hoàn toàn khác với cách của Bộ GD&ĐT, cũng dễ hiểu hơn. Các em cùng theo dõi nhé!
Đọc tiếp
Khi đứng dạy gợi ý và chữa, quả thật thầy cũng chẳng nhớ làm thế nào...Đúng là bí.
Nhưng thấy tỉ số MB=MA và NC=2ND khá đẹp...Thầy đã khái quát thành một bài toán như sau.
Hoàn toàn khác với cách của Bộ GD&ĐT, cũng dễ hiểu hơn. Các em cùng theo dõi nhé!
Sử dụng Nhị Thức Newton tính tổng: "Đạo hàm + Nhân x + Đạo hàm nữa"
Đề bài: (Bài của bạn Hương Nguyễn hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Tính tổng: $\ S = {2^2}C_n^2 - {3^2}C_n^3 + ... + {\left( { - 1} \right)^n}{n^2}C_n^n.$ Biết n = 30.
Giải:
Ta xét khai triển: $\ {\left( {1 - x} \right)^n} = C_n^0 - C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n{x^n}.$
Đạo hàm 2 vế ta được: $\ - n{\left( {1 - x} \right)^{n - 1}} = - C_n^1 + C_n^22x + ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^nn{x^{n - 1}}.$
Đọc tiếp
Tính tổng: $\ S = {2^2}C_n^2 - {3^2}C_n^3 + ... + {\left( { - 1} \right)^n}{n^2}C_n^n.$ Biết n = 30.
Giải:
Ta xét khai triển: $\ {\left( {1 - x} \right)^n} = C_n^0 - C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n{x^n}.$
Đạo hàm 2 vế ta được: $\ - n{\left( {1 - x} \right)^{n - 1}} = - C_n^1 + C_n^22x + ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^nn{x^{n - 1}}.$
Sử dụng PP đặt ẩn phụ, giải hệ phương trình.
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Minh Tiết hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Giải hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l}
2x + y + \sqrt {{x^2} - {y^2}} = 17\\
y\sqrt {{x^2} - {y^2}} = 12
\end{array} \right.$
Giải:
Điều kiện: $\ \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - {y^2} \ge 0\\
y > 0
\end{array} \right.$
Đặt: $\ \left\{ \begin{array}{l}
a = x\\
b = y + \sqrt {{x^2} - {y^2}} \left( {b > 0} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2a + b = 17\\
{b^2} - {a^2} = 24
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 17 - 2a\\
{\left( {17 - 2a} \right)^2} - {a^2} = 24
\end{array} \right.$
Đọc tiếp
Giải hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l}
2x + y + \sqrt {{x^2} - {y^2}} = 17\\
y\sqrt {{x^2} - {y^2}} = 12
\end{array} \right.$
Giải:
Điều kiện: $\ \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - {y^2} \ge 0\\
y > 0
\end{array} \right.$
Đặt: $\ \left\{ \begin{array}{l}
a = x\\
b = y + \sqrt {{x^2} - {y^2}} \left( {b > 0} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2a + b = 17\\
{b^2} - {a^2} = 24
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 17 - 2a\\
{\left( {17 - 2a} \right)^2} - {a^2} = 24
\end{array} \right.$
Đăng ký:
Bài đăng (Atom)