Câu BĐT và Min, Max trong đề thi thử ĐH lần 6 - THPT chuyên Thái Bình.

Đề bài: (Câu BĐT và Min, Max trong đề thi thử ĐH lần 6 - THPT chuyên Thái Bình)
Cho các số thực x, y, z thoả mãn$\ \left\{ \begin{array}{l}
a,b,c > 0\\
a + b + c = 1
\end{array} \right.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$\ P = \frac{{{a^3} + 2{b^3}}}{{4ab + 3{a^2}}} + \frac{{{b^3} + 2{c^3}}}{{4bc + 3{b^2}}} + \frac{{{c^3} + 2{a^3}}}{{4ca + 3{c^2}}}.$
Giải:
Ta luôn có $\ {a^2} + {b^2} \ge 2ab.$ Áp dụng 2 lần ta được:
$\ {a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) \ge ab\left( {a + b} \right) \Rightarrow {a^3} + 2{b^3} \ge ab\left( {a + b} \right) + {b^3} = b\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) \ge 3a{b^2}.$

Đáp án chi tiết đề thi thử ĐH số 9 - Báo THTT số 443 tháng 05/2014.

[Hot] Sử dụng PP biến đổi tương đương giải HPT (Tập cuối).

[Hot] - Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ giải hệ phương trình.

Chuyển từ ngôn ngữ hệ phương trình về ngôn ngữ tương giao + hình giải tích Oxy.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Hoa Hồng hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Tìm m để hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 1 = 0\\
\left( {m + 1} \right)x + y + 1 - 2m = 0
\end{array} \right.$ có 2 nghiệm $\ \left( {{x_1};{y_1}} \right),\,\left( {{x_2};{y_2}} \right).$ Sao cho biểu thức $\ F = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}} $ đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Ta có: $\ {x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4.$
Mặt khác, $\ \left( {m + 1} \right)x + y + 1 - 2m = 0 \Leftrightarrow m\left( {x - 2} \right) + \left( {x + y + 1} \right) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2 = 0\\
x + y + 1 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2; - 3} \right).$