ĐỀ CHÍNH THỨC
I- PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số $\ y = - {x^3} + 3{x^2} - 2,\,\left( C \right).$
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
2. Xác định m để đường thẳng $\ \Delta :\,y = m\left( {2 - x} \right) + 2$ cắt đồ thị hàm số (C) tại 3 điểm phân biệt A(2,2), B, C
sao cho tích các hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C) tại B và C đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 2. (1,0 điểm) Giải phương trình: $\ cos\,3x + \sin \,2x - 2\sin \,x - cos\,x + 1 = 0.$
Câu 3. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{4{x^3} - 3x + \left( {y - 1} \right)\sqrt {2y + 1} = 0}\\
{2{x^2} + x + \sqrt { - y\left( {2y + 1} \right)} = 0}
\end{array}} \right.$
Câu 4. (1,0 điểm) Tính tích phân: $\ I = \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\log }_2}\left( {3\sin \,x + cos\,x} \right)}}{{{{\sin }^2}x}}} dx.$
Câu 5. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=2a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là trung điểm của SD, mặt phẳng (ABM) vuông góc với mặt phẳng (SCD) và đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng BD. Tính thể tích khối chóp S.BCM và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC).
Câu 6. (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $\ P = {\left( {xy + yz + 2zx} \right)^2} - \frac{8}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - xy - yz - 2}}.$
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (Phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D có AB=AD<CD, điểm B(1,2), đường thẳng BD có phương trình y=2. Biết đường thẳng (d): 7x-y-25=0 cắt các đoạn thẳng AD, CD lần lượt tại hai điểm M, N sao cho BM vuông góc với BC và tia BN là tia phân giác của góc MBC. Tìm điểm D có hoành độ dương.
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(4,0,0) và M(6,3,1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và M sao cho (P) cắt trục Oy, Oz lần lượt tại B, C và thể tích tứ diện OABC bằng 4.
Câu 9.a (1,0 điểm). Giải phương trình: $\ 2\log \left( {{x^2} - 1} \right) = \log {\left( {x + 1} \right)^4} + \log {\left( {x - 2} \right)^2}.$
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC có phương trình $\ {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5$ và đường thẳng BC đi qua điểm $\ \left( {\frac{7}{2};2} \right).$ Xác định tọa độ điểm A.
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1,1,-1), B(1,1,2) và C(-1,2,-1) và mặt phẳng (P) có phương trình $\ x - 2y + 2z + 1 = 0.$ Mặt phẳng $\ \left( \alpha \right)$ đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) đồng thời cắt đường thẳng BC tại I sao cho IB=2IC. Viết phương trình mặt phẳng $\ \left( \alpha \right).$
Câu 9.a (1,0 điểm). Cho số phức z thỏa mãn $\ \left( {1 - 3i} \right)z$ là số thực và $\ \left| {\overline z - 2 + 5i} \right| = 1.$
--------------------Hết------------------
GIẢI
Câu 1.1 Các em tự khảo sát và vẽ đồ thị nhé.
Câu 1.2 Hoành độ giao điểm của ∆ và (C) là nghiệm của PT:
$ - {x^3} + 3{x^2} - 2 = m\left( {2 - x} \right) + 2 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( { - {x^2} + x + m + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right).g\left( x \right) = 0$
Để ∆ cắt (C) tại 3 điểm A(2;2), B và C phân biệt thì: $\left\{ \begin{array}{l}
{\Delta _g} > 0\\
g\left( 2 \right) \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4m + 9 > 0\\
m \ne 0
\end{array} \right.\left( * \right)$
