Ba cách khác nhau cho một bài BĐT.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Kim Ngân hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho các số thực dương $a,b$. Chứng minh rằng: ${\dfrac{{a + b}}{{\sqrt {a\left( {3a + b} \right)}  + \sqrt {b\left( {3b + a} \right)} }} \ge \dfrac{1}{2}}$
Giải:

Bắt đầu học về Cauchy và Cauchy-Schwarz.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Không Quan Tâm hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho các số thực dương a, b, c, d. CMR:  $\ S = \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + d}} + \frac{c}{{d + a}} + \frac{d}{{a + b}} \ge 2\left( * \right).$
Giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\[\begin{array}{l}
{\left( {a + b + c + d} \right)^2}\\
 = {\left( {\sqrt {a\left( {b + c} \right)} .\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt {b + c} }} + \sqrt {b\left( {c + d} \right)} \frac{b}{{\sqrt {c + d} }} + \sqrt {c\left( {d + a} \right)} \frac{c}{{\sqrt {d + a} }} + \sqrt {d\left( {a + b} \right)} \frac{d}{{\sqrt {a + b} }}} \right)^2}\\
 \le \left( {ab + ac + bc + bd + cd + ca + da + db} \right)\left( {\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + d}} + \frac{c}{{d + a}} + \frac{d}{{a + b}}} \right)\\
 = \left( {ab + bc + cd + da + 2ca + 2db} \right).\,S
\end{array}\]