Evaluate.

Question: (Kunihiko Chikaya 's question on facebook Trợ Giúp Toán Học)
Evaluate $I=\displaystyle\int\limits_0^1 {\frac{x}{{\left[ {\left( {2x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + x + 1}  + \left( {2x + 1} \right)\sqrt {{x^2} - x + 1} } \right]\sqrt {{x^4} + {x^2} + 1} }}dx}$
Answer:

Tích phân hàm vô tỷ.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Nguyễn Nguyệt hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Tính nguyên hàm: $I = \int {\dfrac{{dx}}{{1 + x + \sqrt {{x^2} + 1} }}} .$
Giải:

Tích phân hàm vô tỷ & siêu việt.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Nguyễn Hồng Sơn hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Tích tích phân: \[I = \int\limits_{\sqrt 3 }^{2\sqrt 2 } {\frac{{{x^3}\ln x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} \]Giải:

Câu tích phân trong đề thi thử THPT Trần Phú - Hà Tĩnh - LẦN 2

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Nóiđùachứ Mình Trogsángthậtmà hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
$\ I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sqrt {3\cot \,x + 1}  + x}}{{{{\sin }^2}x}}\,dx} .$
Giải:
Ta có: $\ I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sqrt {3\cot \,x + 1}  + x}}{{{{\sin }^2}x}}\,dx}  = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sqrt {3\cot \,x + 1} }}{{{{\sin }^2}x}}\,dx}  + \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{x}{{{{\sin }^2}x}}\,dx}  = {I_1} + {I_2}.$

Bài tích phân đề thi HSG Nam Định - 2014

Đề bài: (Câu 5 đề thi học sinh giỏi tỉnh Nam Định năm 2014)
Tính $\ I = \int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{{x^2}{{\ln }^2}x + \left( {x + 1} \right)\ln x + 1}}{{x\ln x\left( {x\ln x + 1} \right)}}} dx.$
Giải:
Ta có: $\ I = \int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{x\ln x\left( {x\ln x + 1} \right) + \ln x + 1}}{{x\ln x\left( {x\ln x + 1} \right)}}} dx = \int\limits_e^{{e^2}} {\left[ {1 + \frac{{\ln x + 1}}{{x\ln x\left( {x\ln x + 1} \right)}}} \right]} dx = \left( {{e^2} - e} \right) + J.$

Một trong những bài đổi biến số đặc biệt.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Mon Kulz hỏi trên facebook Trợ Guýp Toán Học)
Tính $\ I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin \,x\sin \,2xdx}}{{{e^x} + 1}}} .$

Giải:

Đặt $\ t =  - x \Leftrightarrow dx =  - dt;x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t =  - \frac{\pi }{2};\,x =  - \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = \frac{\pi }{2}.$

Tính $\ I=\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{\left( \frac{1}{3x+2+2\sqrt{3x+1}}+\frac{\sqrt[3]{x-{{x}^{3}}}}{{{x}^{6}}} \right)dx}.$

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Micale Cat trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Tính tích phân: $\ I=\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{\left( \frac{1}{3x+2+2\sqrt{3x+1}}+\frac{\sqrt[3]{x-{{x}^{3}}}}{{{x}^{6}}} \right)dx}.$
Giải:
Đặt:$\ {{I}_{1}}=\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{\frac{dx}{3x+2+2\sqrt{3x+1}}};\,{{I}_{2}}=\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{\frac{\sqrt[3]{x-{{x}^{3}}}}{{{x}^{6}}}dx}.$
+ Xét $\ {{I}_{1}}=\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{\frac{dx}{3x+2+2\sqrt{3x+1}}}=\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{\frac{dx}{3x+1+2\sqrt{3x+1}+1}}=\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{\frac{dx}{{{\left( \sqrt{3x+1}+1 \right)}^{2}}}}.$
 Đặt $\ t=\sqrt{3x+1}\Leftrightarrow {{t}^{2}}=3x+1\Rightarrow dx=\frac{2}{3}tdt$ $\ \Rightarrow {{I}_{1}}=\frac{2}{3}\int\limits_{\sqrt{2}}^{2}{\frac{tdt}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}}=\frac{2}{3}\int\limits_{\sqrt{2}}^{2}{\left( \frac{1}{t+1}-\frac{1}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}} \right)d\left( t+1 \right)}.$

Tính tích phân: $\ I = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^4} + {x^2} + 1}}{{{x^6} + 1}}dx} .$

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Anonymous hỏi trong mục Post bài tập toán của Blog)
Tính tích phân: $\ I = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^4} + {x^2} + 1}}{{{x^6} + 1}}dx} .$
Giải:
Ta có: $\ I = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^4} - {x^2} + 1 + 2{x^2}}}{{{x^6} + 1}}dx}  = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^4} - {x^2} + 1}}{{{x^6} + 1}}dx}  + 2\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{{{x^6} + 1}}dx} .$
             $\  = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 1}}}  + 2\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{{{x^6} + 1}}dx}  = arctan\,x\left| \begin{array}{l}
1\\
0
\end{array} \right. + \frac{2}{3}arctan\,{x^3}\left| \begin{array}{l}
1\\
0
\end{array} \right. = \frac{\pi }{4} + \frac{2}{3}.\frac{\pi }{4} = \frac{{5\pi }}{{12}}.$

Tính $\ I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{x\left( {cos\,4x - cos\,2x} \right) + \sin \,2x}}{{{{\sin }^4}x\left( {2cos2x + 1} \right)}}} dx.$

Đề bài: (Bài của bạn Micale Cat hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Tính $\ I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{x\left( {cos\,4x - cos\,2x} \right) + \sin \,2x}}{{{{\sin }^4}x\left( {2cos2x + 1} \right)}}} dx.$
Giải:
Ta có: $\ I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{x\left( {2co{s^2}2x - cos\,2x - 1} \right) + \sin \,2x}}{{{{\sin }^4}x\left( {2cos2x + 1} \right)}}} dx = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{x\left( {2cos2x + 1} \right)\left( {cos2x - 1} \right) + \sin \,2x}}{{{{\sin }^4}x\left( {2cos2x + 1} \right)}}} dx.$

Câu 4 (Đề thi thử ĐH số 4 - Báo THTT số 438 tháng 12/2013)

Câu 4. Ta có: \[\frac{{{5}^{\frac{x}{2}}}}{\left( {{5}^{x}}-9 \right)\sqrt{6-{{5}^{1-x}}}}=\frac{{{5}^{x}}}{\left( {{5}^{x}}-9 \right)\sqrt{{{6.5}^{x}}-5}}\] .

Câu 4 (Đề thi thử ĐH số 3 - Báo THTT số 437 tháng 11/2013)

Câu 4 Ta có: $\ I = \int_1^2 {\frac{{{x^2} + x + 2\ln x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} dx = \int_1^2 {\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 3\left( {x + 2} \right) + 2 + 2\ln x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} dx.$

Tích phân - Trích đề thi thử ĐH (sưu tầm)

Đề bài: Tính tích phân : $I = \displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi }{2}} x\sin x \left(5\sin x +x\cos x \right)\text{d}x. $
Giải:
Tích phân đã cho viết thành: $I = \displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi }{2}}(5x\sin^2x+x^2\sin x\cos x)dx$

Tính tích phân $\ I = \int_0^1 {\frac{{\ln \left( {2{x^2} + 4x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}} .dx.$

Đề bài: Tính tích phân $\ I = \int_0^1 {\frac{{\ln \left( {2{x^2} + 4x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}} .dx.$
Giải:
Đặt: $\ \left\{ \begin{array}{l}
u = \ln \left( {2{x^2} + 4x + 1} \right)\\
dv = \frac{{dx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{{4\left( {x + 1} \right)}}{{2{x^2} + 4x + 1}}.dx\\
v =  - \frac{1}{{2{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}
\end{array} \right.$