Chuyển từ ngôn ngữ hệ phương trình về ngôn ngữ tương giao + hình giải tích Oxy.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Hoa Hồng hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Tìm m để hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 1 = 0\\
\left( {m + 1} \right)x + y + 1 - 2m = 0
\end{array} \right.$ có 2 nghiệm $\ \left( {{x_1};{y_1}} \right),\,\left( {{x_2};{y_2}} \right).$ Sao cho biểu thức $\ F = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}} $ đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Ta có: $\ {x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4.$
Mặt khác, $\ \left( {m + 1} \right)x + y + 1 - 2m = 0 \Leftrightarrow m\left( {x - 2} \right) + \left( {x + y + 1} \right) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2 = 0\\
x + y + 1 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2; - 3} \right).$

Khi đó, nghiệm của hệ phương trình đã cho chính là giao điểm của đường thẳng quay quanh điểm cố định M(2;-3) và đường tròn tâm I(1;-2), bán kính R=2.

Nhìn hình vẽ ta thấy khoảng cách:
$\ AB = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}} .$
AB đi qua M và nhỏ nhất khi $\ AB \bot IM.$
$\  \Rightarrow {\overrightarrow n _{AB}} = \overrightarrow {IM}  = \left( {1; - 1} \right) \Rightarrow AB:x - y - 5 = 0.$
Để đường thẳng $\ {d_m}:\left( {m + 1} \right)x + y + 1 - 2m = 0$ trùng với AB thì:
$\ \frac{{m + 1}}{1} = \frac{{ - 1}}{1} = \frac{{1 - 2m}}{{ - 5}} \Leftrightarrow m =  - 2.$
Thử lại thấy m = -2 thoả mãn. Vậy m = -2 là giá trị cần tìm.