Câu BĐT và Min, Max trong đề thi thử ĐH lần 6 - THPT chuyên Thái Bình.

Đề bài: (Câu BĐT và Min, Max trong đề thi thử ĐH lần 6 - THPT chuyên Thái Bình)
Cho các số thực x, y, z thoả mãn$\ \left\{ \begin{array}{l}
a,b,c > 0\\
a + b + c = 1
\end{array} \right.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$\ P = \frac{{{a^3} + 2{b^3}}}{{4ab + 3{a^2}}} + \frac{{{b^3} + 2{c^3}}}{{4bc + 3{b^2}}} + \frac{{{c^3} + 2{a^3}}}{{4ca + 3{c^2}}}.$
Giải:
Ta luôn có $\ {a^2} + {b^2} \ge 2ab.$ Áp dụng 2 lần ta được:
$\ {a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) \ge ab\left( {a + b} \right) \Rightarrow {a^3} + 2{b^3} \ge ab\left( {a + b} \right) + {b^3} = b\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) \ge 3a{b^2}.$

$\  \Rightarrow P \ge \frac{{3a{b^2}}}{{4ab + 3{a^2}}} + \frac{{3b{c^2}}}{{4bc + 3{b^2}}} + \frac{{3c{a^2}}}{{4ca + 3{c^2}}} = 3\left( {\frac{{{b^2}}}{{3a + 4b}} + \frac{{{c^2}}}{{3b + 4c}} + \frac{{{a^2}}}{{3c + 4a}}} \right) = 3Q.$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
$\ \begin{array}{l}
{\left( {a + b + c} \right)^2} = {\left( {\sqrt {3a + 4b} .\frac{b}{{\sqrt {3a + 4b} }} + \sqrt {3b + 4c} .\frac{c}{{\sqrt {3b + 4c} }} + \sqrt {3c + 4a} .\frac{a}{{\sqrt {3c + 4a} }}} \right)^2} \le \\
\left( {3a + 4b + 3b + 4c + 3c + 4a} \right).Q = 7\left( {a + b + c} \right).Q \Rightarrow Q \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{7\left( {a + b + c} \right)}} = \frac{1}{7} \Rightarrow Min\,P = \frac{3}{7}
\end{array}.$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = b = c\\
a + b + c = 1\\
\frac{b}{{3a + 4b}} = \frac{c}{{3b + 4c}} = \frac{a}{{3c + 4a}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}.$