Oxy

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Ác Quỷ hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy,$ cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=2BC, B(7;3).$ Gọi $M$ là trung điểm của đoạn $AB, E$ là điểm đối xứng với $D$ qua $A.$ Biết rằng $N(2;-2)$ là trung điểm của $DM,$ điểm $E$ thuộc đường thẳng $\Delta: 2x-y+9=0.$ Tìm tọa độ đỉnh $D.$
Giải:

BĐT

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Cần Một Bờ Vai hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:  $\left| {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} - \dfrac{a}{c} - \dfrac{c}{b} - \dfrac{b}{a}} \right| < 1(\bigstar)$
Giải:

ĐTHS.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Ngô Thúy Ngân hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Tìm $m$ để đường thẳng $(\Delta):y=(2m-1)x-4m$ cắt đồ thị hàm số $(C):y=x^3-3x^2+2$ tại đúng hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho tam giác $ABC$ nhận gốc tọa độ $O$ làm trọng tâm. Biết rằng $C\left( { - 1;4} \right).$
Giải:

HHKG 12.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Cẩm Giang Nguyễn hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D.$ $AB=AD=a, CD=2a, SD=h$ và $SD \bot (ABCD).$ Gọi $E$ là trung điểm của $CD, K$ là hình chiếu của $E$ trên $SC$ trong mặt phẳng $(SCD).$
a) Tính thể tích khối chóp $S.ABCD.$
b) CMR: Sáu điểm $S,A,D,E,K,B$ cùng nằm trên một mặt cầu, tính diện tích mặt cầu này.
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $AE.$
Giải:

ĐL Fermat.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Triet Tran hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
 Cho $m,n$ là các số nguyên dương và $m>n.$ Chứng minh rằng: $A=mn\left( {{m^{30}} - {n^{30}}} \right) \vdots 14322.$
Giải:

PT nghiệm nguyên.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Mai Han hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn: $2y\left( {2{x^2} + 1} \right) - 2x\left( {2{y^2} + 1} \right) + 1 = {x^3}{y^3}$
Giải:

Hình Oxy.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Star HOpe hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $\Delta:x-y+1=0$ và đường tròn $(C):x^2+y^2-2x+4y-4=0.$ Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $\Delta$ sao cho qua $M$ kẻ được hai tiếp tuyến $MA,MB$ đến đường tròn $(C)$,(với $A,B$ là các tiếp điểm) đồng thời khoảng cách từ $N\left( { - 1;\dfrac{3}{2}} \right)$ đến $AB$ là lớn nhất.
Giải:

Hình học HSG 9.

Đề bài: (Câu hình học ôn thi HSG 9 - hay/khó)
Cho $\Delta{ABC}$ cân tại $A,$ điểm $D$ nằm trong tam giác thỏa mãn $DA=DB+DC.$ Đường phân giác ngoài $\widehat{ADB}$ cắt đường trung trực của $AB$ tại $P$ và đường phân giác ngoài $\widehat{ADC}$ cắt đường trung trực của $AC$ tại $Q.$
Chứng minh rằng: $\blacksquare{BCPQ}$ nội tiếp.
Giải: