Cho các số thực dương a, b, c, d. CMR: $\ S = \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + d}} + \frac{c}{{d + a}} + \frac{d}{{a + b}} \ge 2\left( * \right).$
Giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\[\begin{array}{l}
{\left( {a + b + c + d} \right)^2}\\
= {\left( {\sqrt {a\left( {b + c} \right)} .\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt {b + c} }} + \sqrt {b\left( {c + d} \right)} \frac{b}{{\sqrt {c + d} }} + \sqrt {c\left( {d + a} \right)} \frac{c}{{\sqrt {d + a} }} + \sqrt {d\left( {a + b} \right)} \frac{d}{{\sqrt {a + b} }}} \right)^2}\\
\le \left( {ab + ac + bc + bd + cd + ca + da + db} \right)\left( {\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + d}} + \frac{c}{{d + a}} + \frac{d}{{a + b}}} \right)\\
= \left( {ab + bc + cd + da + 2ca + 2db} \right).\,S
\end{array}\]
Lại áp dụng BĐT Cauchy ta có:$\ \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {c^2} \ge 2ac\\
{b^2} + {d^2} \ge 2bd
\end{array} \right. \Rightarrow S \ge \frac{{2\left( {ab + bc + cd + da + 2ca + 2db} \right)}}{{ab + bc + cd + da + 2ca + 2db}} = 2 \Rightarrow $ ĐPCM.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b =c = d.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét