Đề bài: (Câu hỏi của bạn Lâm Thiên Hoàng hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Giải bất phương trình: $\dfrac{{6{x^2}}}{{{{\left( {\sqrt {2x + 1} + 1} \right)}^2}}} > 2x + \sqrt {x - 1} - 1\left( * \right)$
Giải:
Điều kiện $x \ge 1.$
$\begin{array}{l}
\left( * \right) \Leftrightarrow \dfrac{{6{x^2}{{\left( {\sqrt {2x + 1} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt {2x + 1} + 1} \right)}^2}{{\left( {\sqrt {2x + 1} - 1} \right)}^2}}} > 2x + \sqrt {x - 1} - 1 \Leftrightarrow \dfrac{{6{x^2}{{\left( {\sqrt {2x + 1} - 1} \right)}^2}}}{{4{x^2}}} > 2x + \sqrt {x - 1} - 1\\
\Leftrightarrow 3\left( {2x + 2 - 2\sqrt {2x + 1} } \right) > 4x + 2\sqrt {x - 1} - 2 \Leftrightarrow 3\left( {x + 1 - \sqrt {2x + 1} } \right) > 2x + \sqrt {x - 1} - 1\\
3x + 3 - 3\sqrt {2x + 1} > 2x + \sqrt {x - 1} - 1 \Leftrightarrow x + 4 > 3\sqrt {2x + 1} + \sqrt {x - 1} \Leftrightarrow x - 3\sqrt {2x + 1} - \sqrt {x - 1} + 4 > 0\\
Coi\,\left\{ \begin{array}{l}
a = \sqrt {2x + 1} \left( {a > 0} \right)\\
b = \sqrt {x - 1} \left( {b > 0} \right)\\
a + b > \sqrt 3 > 1\left( {Do\,x \ge 1} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left( {{a^2} - {b^2}} \right) - 3a - b + 2 > 0 \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 3a + \dfrac{9}{4}} \right) - \left( {{b^2} + b + \dfrac{1}{4}} \right) > 0\\
\Leftrightarrow {\left( {a - \dfrac{3}{2}} \right)^2} - {\left( {b + \dfrac{1}{2}} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow \left( {a + b - 1} \right)\left( {a - b - 2} \right) > 0 \Leftrightarrow a > b + 2 \Leftrightarrow \sqrt {2x + 1} > \sqrt {x - 1} + 2\\
\Leftrightarrow 2x + 1 > x + 3 + 4\sqrt {x - 1} \Leftrightarrow x - 2 > 4\sqrt {x - 1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
{x^2} - 8x + 8 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow S = \left\{ {\left( {4 + 2\sqrt 2 ; + \infty } \right)} \right\}
\end{array}$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét