Vận dụng Hệ Thức Lượng giải hình Oxy.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Love Rain hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm $I\left( {\dfrac{3}{2}; - 1} \right)\,\& \,M\left( { - 1; - 1} \right)$ là điểm nằm trên cạnh AD sao cho MD=2MA. Biết đỉnh A có tung độ dương và trong tam giác AMI có $\sin \,\widehat {AMI} = \dfrac{{\sqrt {65} }}{5}\,\sin \,\widehat {MAI}.$ Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
Giải:

$\begin{array}{l} Do\,\left\{ \begin{array}{l} \sin \,\widehat {AMI} = \dfrac{{\sqrt {65} }}{5}\,\sin \,\widehat {MAI}\\ \dfrac{{AI}}{{\sin \,\widehat {AMI}\,}} = \dfrac{{MI}}{{\sin \,\widehat {MAI}\,}} = 2R \end{array} \right.\\  \Rightarrow \dfrac{{\sqrt {65} }}{5} = \dfrac{{\sin \,\widehat {AMI}\,}}{{\sin \,\widehat {MAI}\,}} = \dfrac{{AI}}{{MI}} \Leftrightarrow 5A{I^2} = 13M{I^2}\left( * \right)\\ Coi\,\left\{ \begin{array}{l} AB = a\\ AD = b \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} AI = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{2}\\ MI = \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{b}{2} - \dfrac{b}{3}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt {9{a^2} + {b^2}} }}{6} = \dfrac{5}{2} \end{array} \right. \end{array}$

$\begin{array}{l} \mathop  \Rightarrow \limits^{\left( * \right)} \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{5\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{4} = \dfrac{{13\left( {9{a^2} + {b^2}} \right)}}{{36}}\\ 9{a^2} + {b^2} = 225 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} AB = a = 2\sqrt 5 \\ AD = b = 3\sqrt 5 \end{array} \right..\,Coi\,A\left( {c;d} \right),\,d > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} C\left( {3 - c; - 2 - d} \right)\\ D\left( { - 2c - 3; - 2d - 3} \right)\\ B\left( {2c + 6;2d + 1} \right) \end{array} \right.\\  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A{B^2} = {\left( {c + 6} \right)^2} + {\left( {d + 1} \right)^2} = 20\\ A{D^2} = {\left( {3c + 3} \right)^2} + {\left( {3d + 3} \right)^2} = 45 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {c + 6} \right)^2} + {\left( {d + 1} \right)^2} = 20\\ {\left( {c + 1} \right)^2} + {\left( {d + 1} \right)^2} = 5 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A\left( { - 2;1} \right),\,B\left( {2;3} \right)\\ C\left( {5; - 3} \right),\,D\left( {1; - 5} \right) \end{array} \right. \end{array}.$