Bài HHKG khá hay! - Trích đề thi thử số 1 - Tạp chí THTT - Số 435/T9.2013

Đề bài: (Đề thi thử số 1 - Tạp chí THTT - Số 435/T9.2013)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là hình vuông tại B và $\ \widehat {ACB} = 2\widehat {BAC}.$ Các đường trung tuyến BB', phân giác trong CC'. Các mặt phẳng (SBB'), (SCC') cùng vuông góc với đáy. Góc giữa (SB'C') với đáy bằng $\ {60^0},\,B'C' = a.$ Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trọng tâm tam giác SBC đến đường thẳng B'C' theo a.

Giải hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l} {x^3} = \sqrt {4 - {x^2}} + 2\sqrt y \\ 3{x^4} + 4y = 2x\sqrt y \left( {{x^2} + 3} \right) \end{array} \right.,\,\left( {x,y \in R} \right).$

Đề bài: (Đề thi thử ĐH số 1 - Báo THTT số 435/T9.2013)
Giải hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l}
{x^3} = \sqrt {4 - {x^2}}  + 2\sqrt y \\
3{x^4} + 4y = 2x\sqrt y \left( {{x^2} + 3} \right)
\end{array} \right.,\,\left( {x,y \in R} \right).$
Giải:
HPT $\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2\sqrt y  = {x^3} - \sqrt {4 - {x^2}} \\
3{x^4} + {\left( {{x^3} - \sqrt {4 - {x^2}} } \right)^2} = \left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{x^4} - x\sqrt {4 - {x^2}} } \right)\left( * \right)
\end{array} \right.$

Chứng minh rằng: $\ {2^{2\sin \,x}} + {2^{\tan \,x}} > {2^{\frac{{3x}}{2} + 1}},\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).$

Đề bài: (Bài bên Thi thử ĐH)
Chứng minh rằng: $\ {2^{2\sin \,x}} + {2^{\tan \,x}} > {2^{\frac{{3x}}{2} + 1}},\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).$
Giải:
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:$\ {2^{2\sin \,x}} + {2^{\tan \,x}} \ge 2\sqrt {{2^{2\sin \,x}}{{.2}^{\tan \,x}}}  = {2^{\frac{{2\sin \,x + \tan \,x}}{2} + 1}}.$

Giải HPT: $\ \left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} - 8x + 2\left( {x - 1} \right)\sqrt {{x^2} - 2x + 2} = 2\left( {y + 2} \right)\sqrt {{y^2} + 4y + 5} \,\,\left( 1 \right)\\ {x^2} + 2{y^2} = 4x - 8y - 6\,\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Đề bài: (Bài toán trên Yêu Toán Học)
Giải HPT: $\ \left\{ \begin{array}{l}
3{x^2} - 8x + 2\left( {x - 1} \right)\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  = 2\left( {y + 2} \right)\sqrt {{y^2} + 4y + 5} \,\,\left( 1 \right)\\
{x^2} + 2{y^2} = 4x - 8y - 6\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.$
Giải:
Lấy PT (1) - PT (2) ta được:
$\ 2{x^2} - 4x + 2\left( {x - 1} \right)\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  = 2{y^2} + 8y + 6 + 2\left( {y + 2} \right)\sqrt {{y^2} + 4y + 5} .$

Giải phương trình $\ {\log _2}\left( {1 + \sqrt[3]{x}} \right) = {\log _7}x.$

Đề bài: Giải phương trình $\ {\log _2}\left( {1 + \sqrt[3]{x}} \right) = {\log _7}x.$
Giải:
Điều kiện: x > 0.
Đặt $\ {\log _2}\left( {1 + \sqrt[3]{x}} \right) = {\log _7}x = t.$