Giải phương trình $\ {\log _2}\left( {1 + \sqrt[3]{x}} \right) = {\log _7}x.$

Đề bài: Giải phương trình $\ {\log _2}\left( {1 + \sqrt[3]{x}} \right) = {\log _7}x.$
Giải:
Điều kiện: x > 0.
Đặt $\ {\log _2}\left( {1 + \sqrt[3]{x}} \right) = {\log _7}x = t.$

$\  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = {7^t}\\
1 + \sqrt[3]{x} = {2^t}
\end{array} \right. \Rightarrow 1 + {7^{\frac{t}{3}}} = {2^t}.$
Chia 2 vế cho $\ {2^t}$ ta có:
$\ {\left( {\frac{1}{2}} \right)^t} + {\left( {\frac{{\sqrt[3]{7}}}{2}} \right)^t} = 1.$
Xét hàm $\ f\left( t \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^t} + {\left( {\frac{{\sqrt[3]{7}}}{2}} \right)^t} - 1.$ ta thấy:
$\ f'\left( t \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^t}\ln \frac{1}{2} + {\left( {\frac{{\sqrt[3]{7}}}{2}} \right)^t}\ln \frac{{\sqrt[3]{7}}}{2} < 0 \Rightarrow .$
Vậy hàm f(t) luôn nghịch biến với mọi t. Khi đó phương trình f(t)=0 có nghiệm duy nhất.
Mặt khác, ta thấy f(3) = 0. Vậy t = 3 hay x = 343 là nghiệm duy nhất của phương trình.