Processing math: 100%

Thứ Năm, 10 tháng 10, 2013

Giải HPT: \ \left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} - 8x + 2\left( {x - 1} \right)\sqrt {{x^2} - 2x + 2} = 2\left( {y + 2} \right)\sqrt {{y^2} + 4y + 5} \,\,\left( 1 \right)\\ {x^2} + 2{y^2} = 4x - 8y - 6\,\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.

Đề bài: (Bài toán trên Yêu Toán Học)
Giải HPT: \ \left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} - 8x + 2\left( {x - 1} \right)\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  = 2\left( {y + 2} \right)\sqrt {{y^2} + 4y + 5} \,\,\left( 1 \right)\\ {x^2} + 2{y^2} = 4x - 8y - 6\,\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.
Giải:
Lấy PT (1) - PT (2) ta được:
\ 2{x^2} - 4x + 2\left( {x - 1} \right)\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  = 2{y^2} + 8y + 6 + 2\left( {y + 2} \right)\sqrt {{y^2} + 4y + 5} .

\  \Leftrightarrow 2{\left( {x - 1} \right)^2} + 2\left( {x - 1} \right)\sqrt {\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 1}  = 2{\left( {y + 2} \right)^2} + 2\left( {y + 2} \right)\sqrt {{{\left( {y + 2} \right)}^2} + 1} .
\  \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + \left( {x - 1} \right)\sqrt {\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 1}  = {\left( {y + 2} \right)^2} + \left( {y + 2} \right)\sqrt {{{\left( {y + 2} \right)}^2} + 1} .
Xét hàm đặc trưng:
\ f\left( t \right) = {t^2} + t\sqrt {{t^2} + 1}  \Rightarrow f'\left( t \right) = 2t + \sqrt {{t^2} + 1}  + \frac{{{t^2}}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }} = \frac{{{{\left( {\sqrt {{t^2} + 1}  + t} \right)}^2}}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }} > 0,\forall t.
Vậy f(t) luôn đồng biến. Khi đó: \ f\left( {x - 1} \right) = f\left( {y + 2} \right) \Leftrightarrow x - 1 = y + 2 \Leftrightarrow x = y + 3.
Khi đó, HPT \ \left\{ \begin{array}{l} x = y + 3\\ {x^2} + 2{y^2} = 4x - 8y - 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = y + 3\\ 3{y^2} + 10y + 3 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left( {x;y} \right) = \left( {0; - 3} \right)\\ \left( {x;y} \right) = \left( {\frac{8}{3}; - \frac{1}{3}} \right) \end{array} \right.
                                                        Vậy \ S = \left\{ {\left( {0; - 3} \right),\left( {\frac{8}{3}; - \frac{1}{3}} \right)} \right\}.

Không có nhận xét nào: