Đề bài: (Bài toán trên Yêu Toán Học)
Giải HPT: $\ \left\{ \begin{array}{l}
3{x^2} - 8x + 2\left( {x - 1} \right)\sqrt {{x^2} - 2x + 2} = 2\left( {y + 2} \right)\sqrt {{y^2} + 4y + 5} \,\,\left( 1 \right)\\
{x^2} + 2{y^2} = 4x - 8y - 6\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.$
Giải:
Lấy PT (1) - PT (2) ta được:
$\ 2{x^2} - 4x + 2\left( {x - 1} \right)\sqrt {{x^2} - 2x + 2} = 2{y^2} + 8y + 6 + 2\left( {y + 2} \right)\sqrt {{y^2} + 4y + 5} .$
$\ \Leftrightarrow 2{\left( {x - 1} \right)^2} + 2\left( {x - 1} \right)\sqrt {\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 1} = 2{\left( {y + 2} \right)^2} + 2\left( {y + 2} \right)\sqrt {{{\left( {y + 2} \right)}^2} + 1} .$
$\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + \left( {x - 1} \right)\sqrt {\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 1} = {\left( {y + 2} \right)^2} + \left( {y + 2} \right)\sqrt {{{\left( {y + 2} \right)}^2} + 1} .$
Xét hàm đặc trưng:
$\ f\left( t \right) = {t^2} + t\sqrt {{t^2} + 1} \Rightarrow f'\left( t \right) = 2t + \sqrt {{t^2} + 1} + \frac{{{t^2}}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }} = \frac{{{{\left( {\sqrt {{t^2} + 1} + t} \right)}^2}}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }} > 0,\forall t.$
Vậy f(t) luôn đồng biến. Khi đó: $\ f\left( {x - 1} \right) = f\left( {y + 2} \right) \Leftrightarrow x - 1 = y + 2 \Leftrightarrow x = y + 3.$
Khi đó, HPT $\ \left\{ \begin{array}{l}
x = y + 3\\
{x^2} + 2{y^2} = 4x - 8y - 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = y + 3\\
3{y^2} + 10y + 3 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left( {x;y} \right) = \left( {0; - 3} \right)\\
\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{8}{3}; - \frac{1}{3}} \right)
\end{array} \right.$
Vậy $\ S = \left\{ {\left( {0; - 3} \right),\left( {\frac{8}{3}; - \frac{1}{3}} \right)} \right\}.$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét