Câu 1.2 (Đề thi thử ĐH số 4 - Báo THTT số 438 tháng 12/2013)

Câu 1.2  Ta có: $y'=-\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\Rightarrow$PT tiếp tuyến tại điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \left( C \right)$ có dạng:

$y=-\frac{1}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{2{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}-1}$ hay$\left( \Delta  \right):x+{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}y-\left( 2x_{0}^{2}-2{{x}_{0}}+1 \right)=0$.
Khi đó: $d\left( A\to \left( \vartriangle  \right) \right)=d\left( B\to \left( \vartriangle  \right) \right)\Leftrightarrow \frac{\left| -2+4{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}-\left( 2x_{0}^{2}-2{{x}_{0}}+1 \right) \right|}{\sqrt{1+{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{4}}}}=\frac{\left| 4-2{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}-\left( 2x_{0}^{2}-2{{x}_{0}}+1 \right) \right|}{\sqrt{1+{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{4}}}}$

$\ \Leftrightarrow \left| {2x_0^2 - 6{x_0} + 1} \right| = \left| { - 2x_0^2 + 6{x_0} + 1} \right|.$

Khi $\ 6{x_0}\left( {{x_0} - 2} \right) = 0.$ Ta có $\ {x_0} = 0 \Leftrightarrow x + y - 1 = 0$ và $\ {x_0} = 2 \Leftrightarrow x + 4y - 5 = 0.$
Khi $\ 2\left( {x_0^2 - 1} \right) = 0$ $\  \Leftrightarrow {x_0} =  - 1 \Leftrightarrow x + y - 5 = 0;{x_0} = 1$ (Loại)
Vậy có 3 phương trình tiếp tuyến thoả mãn là: $\left( {{\vartriangle }_{1}} \right):x+y-1=0;\left( {{\vartriangle }_{2}} \right):x+4y-5=0;\,\,\left( {{\vartriangle }_{3}} \right):x+y-5=0\,$