a) Tìm các điểm M, N cùng nằm trên (C) sao cho điểm $\ I\left( { - \frac{1}{2};2} \right)$ là trung điểm của đoạn thẳng MN.
b) Cho 3 điểm phân biệt A, B, C cùng thuộc (C). Các tiếp tuyến của (C) tại A, B, C cắt (C) tại các điểm thứ hai lần lượt là A', B', C'. Chứng minh rằng: Nếu A, B, C thẳng hàng thì A', B', C' cũng thẳng hàng.
Giải:
a) Gọi tọa độ các điểm M và N thuộc (C) lần lượt là: $\ M\left( {{x_1};x_1^3 - 3{x_1} + 4} \right),\,\,N\left( {{x_2};x_2^3 - 3{x_2} + 4} \right).$
Khi đó, do I là trung điểm của MN nên ta có HPT: $\ \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = - 1\\
\left( {x_1^3 - 3{x_1} + 4} \right) + \left( {x_2^3 - 3{x_2} + 4} \right) = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = - 1\\
x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2 = 7
\end{array} \right.$
$\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = - 1\\
{x_1}{x_2} = - 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left( {{x_1};{x_2}} \right) = \left( { - 2;1} \right)\\
\left( {{x_1};{x_2}} \right) = \left( {1; - 2} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
M\left( { - 2;2} \right)\\
N\left( {1;2} \right)
\end{array} \right.$
b) Gọi các điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là:
$\ A\left( {{x_1};x_1^3 - 3{x_1} + 4} \right),\,\,B\left( {{x_2};x_2^3 - 3{x_2} + 4} \right),\,\,C\left( {{x_3};x_3^3 - 3{x_3} + 4} \right).$
Giả sử A, B, C thẳng hàng khi đó ta có: $\ \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{{x_3} - {x_1}}} = \frac{{\left( {x_2^3 - 3{x_2} + 4} \right) - \left( {x_1^3 - 3{x_1} + 4} \right)}}{{\left( {x_3^3 - 3{x_3} + 4} \right) - \left( {x_1^3 - 3{x_1} + 4} \right)}}.$
$\ \Leftrightarrow \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{{x_3} - {x_1}}} = \frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2 - 3} \right)}}{{\left( {{x_3} - {x_1}} \right)\left( {x_1^2 + {x_1}{x_3} + x_3^2 - 3} \right)}} \Leftrightarrow x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2 - 3 = x_1^2 + {x_1}{x_3} + x_3^2 - 3.$
$\ \Leftrightarrow x_2^2 + {x_1}{x_2} - x_3^2 - {x_1}{x_3} = 0 \Leftrightarrow \left( {{x_2} - {x_3}} \right)\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right) = 0 \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} + {x_3} = 0.$ (1)
Mặt khác, phương trình tiếp tuyến tại A có dạng: $\ y = f'\left( {{x_1}} \right)\left( {x - {x_1}} \right) + x_1^3 - 3{x_1} + 4 \Leftrightarrow y = \left( {3x_1^2 - 3} \right)\left( {x - {x_1}} \right) + x_1^3 - 3{x_1} + 4.$
Hoành độ giao điểm thứ hai của tiếp tuyến này với (C) là nghiệm của phương trình:
$\ {x^3} - 3x + 4 = \left( {3x_1^2 - 3} \right)\left( {x - {x_1}} \right) + x_1^3 - 3{x_1} + 4 \Leftrightarrow {\left( {x - {x_1}} \right)^2}\left( {x - 2{x_1}} \right) = 0.$
$\ \Leftrightarrow x = 2{x_1} \Leftrightarrow A'\left( {2{x_1};8x_1^3 - 6{x_1} + 4} \right).$Tương tự: $\ B'\left( {2{x_2};8x_2^3 - 6{x_2} + 4} \right);C'\left( {2{x_3};8x_3^3 - 6{x_3} + 4} \right).$
Khi đó ta xét tỉ lệ:
$\ \frac{{2{x_2} - 2{x_1}}}{{2{x_3} - 2{x_1}}} = \frac{{\left( {8x_2^3 - 6{x_2} + 4} \right) - \left( {8x_1^3 - 6{x_1} + 4} \right)}}{{\left( {8x_3^3 - 6{x_3} + 4} \right) - \left( {8x_1^3 - 6{x_1} + 4} \right)}} = \frac{{2\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {4x_1^2 + 4{x_1}{x_2} + 4x_2^2 - 3} \right)}}{{2\left( {{x_3} - {x_1}} \right)\left( {4x_1^2 + 4{x_1}{x_3} + 4x_3^2 - 3} \right)}}.$
Xét tiếp: $\ \left( {4x_1^2 + 4{x_1}{x_2} + 4x_2^2 - 3} \right) - \left( {4x_1^2 + 4{x_1}{x_3} + 4x_3^2 - 3} \right) = 4\left( {{x_2} - {x_3}} \right)\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right) = 0.$
$\ \Rightarrow \left( {4x_1^2 + 4{x_1}{x_2} + 4x_2^2 - 3} \right) = \left( {4x_1^2 + 4{x_1}{x_3} + 4x_3^2 - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {A'B'} = k\overrightarrow {A'C'} .$
Vậy nếu A, B, C thẳng hàng thì A', B', C' cũng thẳng hàng.
a) Giải phương trình: $\ 2{x^2} + 2x + 5 = \left( {4x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + 3} .$
b) Giải hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - {y^3} + 3{x^2} + 6x - 3y + 4 = 0\\
2\sqrt {4 - {x^2}} - 3\sqrt {3 + 2y - {y^2}} - 3x + 2 = 0
\end{array} \right.\,\,(*).$
Giải:
a) Nhân cả 2 vế của PT với 2 ta có PT$\ \Leftrightarrow 4\left( {{x^2} + 3} \right) + \left( {4x - 1} \right) - 1 = 2\left( {4x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + 3}.$
Đặt $\ \left\{ \begin{array}{l}
a = \sqrt {{x^2} + 3} \left( {a \ge \sqrt 3 } \right)\\
b = 4x - 1\left( {b \ge 0} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow 4{a^2} + b - 1 = 2ab \Leftrightarrow \left( {4{a^2} - 1} \right) - b\left( {2a - 1} \right) = 0.$
$\ \Leftrightarrow \left( {2a - 1} \right)\left( {2a - b + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2a - b + 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3} = 2x - 1\left( {a = \frac{1}{2} < \sqrt 3 } \right).$
$\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 3 = 4{x^2} - 4x + 1\\
x \ge \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3{x^2} - 4x - 2 = 0\\
x \ge \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{2 + \sqrt {10} }}{3}.$
b) Ta có:$\ \,(*) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - {y^3} + 3{x^2} + 6x - 3y + 4 = 0\\
2\sqrt {4 - {x^2}} - 3\sqrt {4 - {{\left( {y - 1} \right)}^2}} - 3x + 2 = 0
\end{array} \right.\,\,.$
Đặt: $\ \left\{ \begin{array}{l}
x = a\\
y - 1 = b
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^3} - {\left( {b + 1} \right)^3} + 3{a^2} + 6a - 3\left( {b + 1} \right) + 4 = 0\\
2\sqrt {4 - {a^2}} - 3\sqrt {4 - {b^2}} - 3a + 2 = 0
\end{array} \right.$\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{a^3} + 3{a^2} + 6a = {b^3} + 3{b^2} + 6b{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (1)}\\
{2\sqrt {4 - {a^2}} - 3\sqrt {4 - {b^2}} - 3a + 2 = 0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (2)}
\end{array}} \right.\]Xét hàm: $\ f\left( t \right) = {t^3} + 3{t^2} + 6t \Rightarrow f'\left( t \right) = 3\left( {{t^2} + 2t + 2} \right) = 3{\left( {t + 1} \right)^2} + 3 \ge 3 > 0 \Rightarrow f\left( t \right)\,\,$ đồng biến.
Khi đó ta có HPT: $\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = b\\
\sqrt {4 - {a^2}} = 2 - 3a\,
\end{array} \right. \Leftrightarrow \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = b \le \frac{2}{3}\\
2a\left( {5a - 6} \right) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {a;b} \right) = \left( {0;0} \right) \Leftrightarrow x = 0.$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét