Cho (x;y) là nghiệm của BPT $\ 5{x^2} + 5{y^2} - 5x - 15y + 8 \le 0.$ Tìm Max của: F = x + 3y.

Đề bài (Câu hỏi của bạn Đừngđùa Anhđanghọc trên Facebook Học 24/7)
Cho (x;y) là nghiệm của BPT $\ 5{x^2} + 5{y^2} - 5x - 15y + 8 \le 0.$ Tìm Max của: F = x + 3y.
Giải:

Ta có: $\ BPT \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} \le \frac{9}{{10}}.$

Khi đó gọi M(x;y) thì tập hợp điểm M sẽ là hình tròn:
Tâm $\ I\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right),R = \frac{3}{{\sqrt {10} }}.$
$\  \Rightarrow \frac{F}{2} = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}y = \overrightarrow {OI} .\overrightarrow {OM}  = \left| {\overrightarrow {OI} } \right|.\left| {\overrightarrow {OM} } \right|.cos\widehat {MOI}.$
Do OI không đổi, F đạt Max khi $\ \left| {\overrightarrow {OI} } \right|.cos\widehat {MOI}$ đạt Max.
Mà $\ {Max\left| {\overrightarrow {OI} } \right| = Max\,OI = ON}.$ (N nằm ngoài O và I).
Và $\ cos\widehat {MOI} \le 1 \Leftrightarrow \widehat {MOI} = {0^0} \Leftrightarrow OM \equiv OI \Rightarrow M \equiv N.$
Vậy khi đó $\ M \equiv N$
Phương trình đường thẳng OI là d: y=3x.
Hoành độ giao điểm của N thỏa mãn:
$\ 5{x^2} + 5{y^2} - 5x - 15y + 8 = 0\& y = 3x\left( {x \ge \frac{1}{2}} \right).$
$\  \Rightarrow 50{x^2} - 50x + 8 = 0\left( {x \ge \frac{1}{2}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{4}{5} \Rightarrow M\left( {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right).$
Khi đó: $\ Max\,F = x + 3y = \frac{4}{5} + \frac{{36}}{5} = 8.$
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi: $\ {x = \frac{4}{5}\& y = \frac{{12}}{5}}.$
Mở rộng: Chúng ta còn cách 2 là PP tam thức bậc 2 .
Xem như một bài tập cho các bạn nhé!