Câu 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và AC, M là điểm thay đổi trên cạnh AD.
a) Xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng: (MIJ) và (ABD).
b) Gọi N là giao điểm của BD với (MIJ), K là giao điểm của IN và JM.
CMR: Khi M thay đổi trên cạnh AD thì K luôn chạy trên một đường thẳng cố định.
IJ \subset \left( {KIJ} \right);AB \subset \left( {ABD} \right)\\
IJ//AB\\
MN = \left( {KIJ} \right) \cap \left( {ABD} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow MN//IJ//AB.$
Giới hạn: $\ \left\{ \begin{array}{l}
M \equiv A \Rightarrow N \equiv B \Rightarrow K \equiv C\\
M \equiv D \equiv N \Rightarrow K \equiv D
\end{array} \right.$
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang với AB và CD là 2 cạnh đáy. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của SD và SB.
a) Xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng: (SAB) và (SCD).
b) Xác định thiếu diện của hình chóp S.ABCD bởi mp (AEF).
c) Gọi I là giao điểm của SC với mp (AEF), M là giao điểm của IF và BC, N là giao điểm của EI và CD.
CMR: Ba điểm A, M, N thằng hàng.
a) Xác định giao điểm B', D' của mp (MNP) với các cạnh SB, SD.
b) CMR: B'D' // (ABCD).
c) Tính tỉ số: $\ \frac{{SB'}}{{SB}}\& \frac{{SD'}}{{SD}}.$
G \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {ABD} \right)\\
MN// = \frac{1}{2}BD\\
MN \subset \left( {MNP} \right);BD \subset \left( {ABD} \right)
\end{array} \right.$
Trong (SBD) dựng đường thẳng qua G song song với BD cắt SB và SD lần lượt tại B' và D' ta được 2 điểm cần dựng.
b) Ta có:
$\ \left\{ \begin{array}{l}
B'D'//MN//BD\\
BD \subset \left( {ABCD} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow B'D'//\left( {ABCD} \right).$
c) Trong (SAC) gọi J là trung điểm của SO.
Khi đó JP là đường trung bình của tam giác
SOC nên:
$\ \left\{ \begin{array}{l}
JP// = \frac{1}{2}OC\\
IO = \frac{1}{2}OC
\end{array} \right. \Rightarrow JP// = OI \Rightarrow JPOI$ là hình bình hành.
$\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
JO \cap PI = G\\
GI = GO;\,JO = JS
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{SB'}}{{SB}} = \frac{{SC'}}{{SC}} = \frac{{SG}}{{SO}} = \frac{3}{4}.$
a) Xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng: (MIJ) và (ABD).
b) Gọi N là giao điểm của BD với (MIJ), K là giao điểm của IN và JM.
CMR: Khi M thay đổi trên cạnh AD thì K luôn chạy trên một đường thẳng cố định.
Giải:
a) Ta có: $\ AB \subset \left( {ABD} \right);\,IJ \subset \left( {MIJ} \right).$
Và AB//IJ; $\ M \in \left( {ABD} \right) \cap \left( {MIJ} \right).$
$\ \Rightarrow \;\left( {ABD} \right) \cap \left( {MIJ} \right) = MN//AB//IJ\left( {N \in BD} \right).$
b) Tìm quỹ tích điểm M.
$\ \,\left( {ACD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = CD \Rightarrow JM \cap IN = K \in CD.$
Vậy khi M thay đổi trên AD thì K luôn chạy trên CD (cố định).
Phần Đảo: Gọi K là điểm thuộc CD. KI và KJ lần lượt cắt BD và AD tại N và M. Khi đó:
$\ \left\{ \begin{array}{l}IJ \subset \left( {KIJ} \right);AB \subset \left( {ABD} \right)\\
IJ//AB\\
MN = \left( {KIJ} \right) \cap \left( {ABD} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow MN//IJ//AB.$
Giới hạn: $\ \left\{ \begin{array}{l}
M \equiv A \Rightarrow N \equiv B \Rightarrow K \equiv C\\
M \equiv D \equiv N \Rightarrow K \equiv D
\end{array} \right.$
Kết luận: Quỹ tích điểm K là tất cả những điểm thuộc CD và nằm ngoài đoạn CD.
a) Xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng: (SAB) và (SCD).
b) Xác định thiếu diện của hình chóp S.ABCD bởi mp (AEF).
c) Gọi I là giao điểm của SC với mp (AEF), M là giao điểm của IF và BC, N là giao điểm của EI và CD.
CMR: Ba điểm A, M, N thằng hàng.
Giải:
a) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD.
Do đó SO chính là giao tuyến của (SAB) và (SCD).
b) Trong (SBD) gọi giao điểm của SO và EF là G.
Trong (SAC) gọi giao điểm của AG và SC là I.
Khi đó: $\ SC \cap \left( {AEF} \right) = I \Rightarrow $ Thiết diện là tứ giác AEIF.
c) Ta có:$\ A \in \left( {AEIF} \right) \cap \left( {ABCD} \right).$ (1)
Mà $\ M = IF \cap BC \Rightarrow M \in \left( {AEIF} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\left( 2 \right).$
Và $\ N = IE \cap CD \Rightarrow N \in \left( {AEIF} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\left( 3 \right).$
Từ (1), (2) và (3) ta có: A, M, N thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của (AEIF) và (ABCD).
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC.a) Xác định giao điểm B', D' của mp (MNP) với các cạnh SB, SD.
b) CMR: B'D' // (ABCD).
c) Tính tỉ số: $\ \frac{{SB'}}{{SB}}\& \frac{{SD'}}{{SD}}.$
Giải:
a) Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.
Gọi $\ MN \cap AC = I \Rightarrow IA = IO.$
Trong (SAC) gọi $\ AO \cap PI = G.$
Khi đó:
$\ \left\{ \begin{array}{l}G \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {ABD} \right)\\
MN// = \frac{1}{2}BD\\
MN \subset \left( {MNP} \right);BD \subset \left( {ABD} \right)
\end{array} \right.$
Trong (SBD) dựng đường thẳng qua G song song với BD cắt SB và SD lần lượt tại B' và D' ta được 2 điểm cần dựng.
b) Ta có:
$\ \left\{ \begin{array}{l}
B'D'//MN//BD\\
BD \subset \left( {ABCD} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow B'D'//\left( {ABCD} \right).$
c) Trong (SAC) gọi J là trung điểm của SO.
Khi đó JP là đường trung bình của tam giác
SOC nên:
$\ \left\{ \begin{array}{l}
JP// = \frac{1}{2}OC\\
IO = \frac{1}{2}OC
\end{array} \right. \Rightarrow JP// = OI \Rightarrow JPOI$ là hình bình hành.
$\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
JO \cap PI = G\\
GI = GO;\,JO = JS
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{SB'}}{{SB}} = \frac{{SC'}}{{SC}} = \frac{{SG}}{{SO}} = \frac{3}{4}.$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét