4 số nguyên dương lập thành 1 cấp số cộng. Biết tổng các số đó là 20 và tổng các nghịch đảo của các số là 25/24. Xác định cấp số cộng đó. Thầy Trợ Giúp Toán Học giúp em bài này với!
Giải:
Gọi 4 số của cấp số cộng đó là: x-3d; x-d; x+d và x+3d (công sai 2d)
Theo đề bài ta có:$\ 4x = 20\& \frac{1}{{x - 3d}} + \frac{1}{{x - d}} + \frac{1}{{x + d}} + \frac{1}{{x + 3d}} = \frac{{25}}{{24}}.$
$\ \Leftrightarrow x = 5\& \frac{1}{{25 - 9{d^2}}} + \frac{1}{{25 - {d^2}}} = \frac{5}{{48}}\left( * \right).$
Xét (*) ta có: $\ \frac{{50 - 10{d^2}}}{{\left( {25 - 9{d^2}} \right)\left( {25 - {d^2}} \right)}} = \frac{5}{{48}} \Leftrightarrow 48\left( {10 - 2{d^2}} \right) = \left( {25 - 9{d^2}} \right)\left( {25 - {d^2}} \right).$
$\ \Leftrightarrow 480 - 96{d^2} = 625 - 250{d^2} + 9{d^4} \Leftrightarrow 9{d^4} - 154{d^2} + 145 = 0 \Leftrightarrow d = 1.$
Vậy cấp số là $\ \div \,\,\,2;\,4;\,6;\,8.$
Bình luận: Thực ra bài này các bạn cho thể làm như thông thường vẫn ra.
Có điều ai đó sẽ thắc mắc tại sao công sai lại là 2d.
Thầy xin giải thích như sau:
- Thứ nhất nếu sử dụng 2d thì ta làm xuất hiện 2 thằng tổng và hiệu là: [x-3d; x+3d] và [x-d; x+d].
- Thứ hai: Ta phải chứng minh công sai của cấp số này chẵn (dạng d=2k)
Thật vậy, nếu gọi là x, x+d, x+2d và x+3d thì ta có: 4x+6d=20 hay 2x+3d=10
2x chẵn, 10 chẵn vậy 3d chẵn hay d chẵn (dạng 2k). ổn rồi.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét