Câu 3 (Đề thi thử ĐH số 4 - Báo THTT số 438 tháng 12/2013)

Câu 3. Giả sử: ${{x}^{3}}+12{{y}^{2}}+x+2=8{{y}^{3}}+8y\Leftrightarrow {{x}^{3}}+x={{\left( ay+b \right)}^{3}}+\left( ay+b \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
  & a=2 \\
 & b=-1 \\
\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow {{x}^{3}}+x={{\left( 2y-1 \right)}^{3}}+\left( 2y-1 \right)$. Xét hàm $f\left( t \right)={{t}^{3}}+t\Rightarrow f'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1\ge 1>0,\,\forall t.$
Khi đó hàm f(t) đồng biến nên: $f\left( x \right)=f\left( 2y-1 \right)\Leftrightarrow x=2y-1$. Thế vào PT2 ta có:
$\ \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {8{y^3} + 4{y^2} - 4y + 1}  = 8y - 5\\
y \ge \frac{5}{8}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
8\left( {2y - 1} \right)\left( {{y^2} - 7y + 6} \right) = 0\\
y \ge \frac{5}{8}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{1}{2}\left( { < \frac{5}{8}} \right)\\
y = 1 \Rightarrow x = 1\\
y = 6 \Rightarrow x = 11
\end{array} \right.$

Vậy$S=\left\{ \left( 1;1 \right),\,\left( 11;6 \right) \right\}$