Câu 5 (Đề thi thử ĐH số 4 - Báo THTT số 438 tháng 12/2013)

Câu 5. Gọi$\ \left\{ \begin{array}{l} MN \cap BC = S\\ MN \cap AB = T \end{array} \right.;\,\left\{ \begin{array}{l} SP \cap C{C_1} = Q\\ TP \cap A{A_1} = R \end{array} \right.$

Vậy thiết diện là ngũ giác: MNQPR.
       
Ta hãy định vị các điểm Q và R như sau :

• Do $\frac{DM}{SC}=\frac{DN}{NC}=\frac{1}{2}=\frac{DM}{BC}\Leftrightarrow SC=BC.$ 

          Khi đó C là trung điểm của SB mà QC // BP nên:
          $\left\{ \begin{align}   & \frac{QC}{BP}=\frac{1}{2} \\  & BP=\frac{3}{4}B{{B}_{1}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow QC=\frac{3}{8}B{{B}_{1}}=\frac{3}{8}C{{C}_{1}}$

• Do $\ \left\{ {\frac{{DN}}{{AT}} = \frac{{DM}}{{AM}} = 1;\,DN = \frac{1}{3}DC = \frac{1}{3}AB} \right. \Rightarrow AT = DN = \frac{1}{3}AB = \frac{1}{4}BT$ 

           Mà RA // BP nên: $\ \frac{{RA}}{{BP}} = \frac{{AT}}{{BT}} = \frac{1}{4};BP = \frac{3}{4}B{B_1} = \frac{3}{4}A{A_1} \Rightarrow RA = \frac{3}{{16}}A{A_1}.$

Chọn hệ trục Oxyz sao cho : $\ \left( {O,Ox,Oy,Oz} \right) \equiv \left( {A,AD,AB,A{A_1}} \right).$

$\  \Rightarrow M\left( {\frac{a}{2};0;0} \right),N\left( {a;\frac{a}{2};0} \right),P\left( {0;a;\frac{3}{4}a} \right),{\mkern 1mu} Q\left( {a;a;\frac{{3a}}{8}} \right),{\mkern 1mu} R\left( {0;0;\frac{{3a}}{{16}}} \right).$

Khi đó, do $\ {S_{MNQPR}} = {S_{\Delta MNR}} + {S_{\Delta RNQ}} + {S_{\Delta RPQ}}.$

Mà $\ {S_{\Delta MNR}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {MR} .\overrightarrow {MN} } \right]} \right| = \frac{{{a^2}\sqrt {82} }}{{64}};\,{S_{\Delta RNQ}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {RQ} .\overrightarrow {NQ} } \right]} \right| = \frac{{{a^2}\sqrt {481} }}{{64}}.$

Và $\ \,{S_{\Delta RPQ}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {RQ} .\overrightarrow {PQ} } \right]} \right| = \frac{{{a^2}\sqrt {1492} }}{{64}} \Rightarrow {S_{MNQPR}} = \frac{{{a^2}}}{{64}}\left( {\sqrt {82}  + \sqrt {481}  + \sqrt {1492} } \right).$