Câu 8.b (Đề thi thử ĐH số 4 - Báo THTT số 438 tháng 12/2013)

Câu 8.b Ta có: $\ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;0; - 1} \right)\\ {\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {2;1; - 2} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AB} .{\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = 0.$ Mà $\ A \notin \left( P \right) \Rightarrow AB\,\,//\,\left( P \right).$

Gọi d là đường thẳng nằm trong (P) và d//AB.
Gọi M thuộc d và N là điểm bất kỳ thuộc (P) không thuộc d.
Dựng $\ MH \bot AB\left( {H \in AB} \right) \Rightarrow MH \bot \left( P \right).$
$\  \Rightarrow MH \bot MN \Rightarrow NH \ge MH.$

Khi đó diện tích tam giác MAB nhỏ nhất khi M∈d.
Do d là giao tuyến của mặt phẳng (Q) chứa AB và vuông góc với (P) nên d luôn cố định.
Mà $\ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;0; - 1} \right)\\ {\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {2;1; - 2} \right) \end{array} \right.$
$\  \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} .{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right] = \left( {1; - 4; - 1} \right).$
$\  \Rightarrow \left( Q \right):\left( {x - 2} \right) - 4\left( {y + 1} \right) - \left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( Q \right):\,x - 4y - z - 2 = 0.$
$\ {\overrightarrow u _{\left( d \right)}} = \left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( Q \right)}}.{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right] = \left( {9;0;9} \right) \uparrow  \uparrow \left( {1;0;1} \right).$
Gọi điểm $\ {M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) \in d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_0} - 4{y_0} - {z_0} - 2 = 0\\ 2{x_0} + {y_0} - 2{z_0} - 12 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow {M_0}\left( {0;\frac{8}{9}; - \frac{{50}}{9}} \right).$

Vậy $\ d:x = t;\,y = \frac{8}{9};z =  - \frac{{50}}{9} + t.$