Câu 9.a (Đề thi thử ĐH số 4 - Báo THTT số 438 tháng 12/2013)

Câu 9.a Gọi số có 6 chữ số cần tìm là $\ \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} ,\,\,\left( {{a_i} \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\},i = \overline {1,6} } \right).$
Theo đề bài ta có thể có 3 trường hợp sau:
- TH 1: $\ {a_6} = 0 \Rightarrow \left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right) + \left( {{a_4} + {a_5}} \right) = 15\& \left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right) - \left( {{a_4} + {a_5}} \right) = 3.$

$\  \Leftrightarrow {a_1} + {a_2} + {a_3} = 9\& {a_4} + {a_5} = 6.$Khi đó ta có 2 khả năng:

 
+  KN 1: $\ {a_1};{a_2};{a_3} \in \left\{ {5;3;1} \right\}\& {a_4};{a_5} \in \left\{ {4;2} \right\} \Rightarrow .$ Khi đó có: 3! . 2! = 12 (số).

  +  KN 2: $\ {a_1};{a_2};{a_3} \in \left\{ {4;2;3} \right\}\& {a_4};{a_5} \in \left\{ {1;5} \right\} \Rightarrow .$ Khi đó có: 3! . 2! = 12 (số).

Vậy trong trường hợp này có tất cả: 12 + 12 = 24 (số).

- TH 2: $\ {a_6} = 2 \Rightarrow \left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right) + \left( {{a_4} + {a_5}} \right) = 13\& \left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right) - \left( {{a_4} + {a_5}} \right) = 3.$

$\  \Leftrightarrow {a_1} + {a_2} + {a_3} = 8\& {a_4} + {a_5} = 5.$Khi đó ta có 2 khả năng:

  +  KN 1: $\ {a_1};{a_2};{a_3} \in \left\{ {5;3;0} \right\}\& {a_4};{a_5} \in \left\{ {4;1} \right\} \Rightarrow .$ Khi đó có: (3! - 2!)2! = 8 (số).

  +  KN 2: $\ {a_1};{a_2};{a_3} \in \left\{ {4;3;1} \right\}\& {a_4};{a_5} \in \left\{ {0;5} \right\} \Rightarrow .$ Khi đó có: 3! . 2! = 12 (số).

Vậy trong trường hợp này có tất cả: 8 + 12 = 20 (số).

- TH 3: $\ {a_6} = 4 \Rightarrow \left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right) + \left( {{a_4} + {a_5}} \right) = 11\& \left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right) - \left( {{a_4} + {a_5}} \right) = 3.$

$\  \Leftrightarrow {a_1} + {a_2} + {a_3} = 7\& {a_4} + {a_5} = 4.$Khi đó ta có 1 khả năng:

 $\ {a_1};{a_2};{a_3} \in \left\{ {5;2;0} \right\}\& {a_4};{a_5} \in \left\{ {3;1} \right\} \Rightarrow .$ Khi đó có: (3! - 2!)2! = 8 (số).

Vậy có tất cả: 24 + 20 + 8 = 52 (số) thỏa mãn.