Câu 9.b (Đề thi thử ĐH số 4 - Báo THTT số 438 tháng 12/2013)

Câu 9.b Theo đề bài ta có tọa độ của A, B, C, D trên mặt phẳng phức lần lượt là:
$\ A\left( {4; - 3 - \sqrt 3 } \right),\,B\left( {2; - 3 - \sqrt 3 } \right),\,C\left( {1; - 3} \right),\,D\left( {3; - 1} \right).$

Ta có: $\ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {BD}  = \left( {1;2 + \sqrt 3 } \right)\\ \overrightarrow {BC}  = \left( { - 1;\sqrt 3 } \right) \end{array} \right. \Rightarrow cos\widehat {\,CBD} = \frac{{\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} }}{{\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\left| {\overrightarrow {BD} } \right|}} = \frac{{\sqrt 3  + 1}}{{2\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}.$
Và: $\ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AD}  = \left( { - 1;2 + \sqrt 3 } \right)\\ \overrightarrow {AC}  = \left( { - 3;\sqrt 3 } \right) \end{array} \right. \Rightarrow cos\widehat {\,CAD} = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} }}{{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|}} = \frac{{\sqrt 3  + 1}}{{2\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}.$
$\  \Rightarrow \widehat {\,CBD} = \widehat {\,CAD} \Rightarrow$ Tứ giác ABCD nội tiếp

(Hai góc cùng chắn 1 cung)