Thứ Ba, 29 tháng 4, 2014
Thứ Bảy, 26 tháng 4, 2014
Tìm m để PT sau có 2 nghiệm phân biệt: $\ 2{x^2} + 8x + 26 = m\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + 5x + 10} .$
Đề bài (Câu lấy điểm 10 thi thử THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm - Hà Nội)
Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: $\ 2{x^2} + 8x + 26 = m\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + 5x + 10} .$
Giải:
Ta có: $\ PT \Leftrightarrow 2{\left( {x + 2} \right)^2} + 18 = m\sqrt {{x^2}\left( {x + 2} \right) + 5\left( {x + 2} \right)} \Leftrightarrow 2{\left( {x + 2} \right)^2} + 18 = m\sqrt {\left( {{x^2} + 5} \right)\left( {x + 2} \right)} .$
Đọc tiếp
Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: $\ 2{x^2} + 8x + 26 = m\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + 5x + 10} .$
Giải:
Ta có: $\ PT \Leftrightarrow 2{\left( {x + 2} \right)^2} + 18 = m\sqrt {{x^2}\left( {x + 2} \right) + 5\left( {x + 2} \right)} \Leftrightarrow 2{\left( {x + 2} \right)^2} + 18 = m\sqrt {\left( {{x^2} + 5} \right)\left( {x + 2} \right)} .$
Thứ Sáu, 25 tháng 4, 2014
Cho $\ \left\{ \begin{array}{l} a,b,c > 0\\ \frac{a}{{a + 1}} + \frac{b}{{b + 1}} + \frac{c}{{c + 1}} = 2 \end{array} \right..\,$ Tìm Min của biểu thức: $\ P = ab + bc + ca.$
Đề bài: (Câu hỏi của cháu Vô Danh hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho các số a,b,c thoả mãn: $\ \left\{ \begin{array}{l}
a,b,c > 0\\
\frac{a}{{a + 1}} + \frac{b}{{b + 1}} + \frac{c}{{c + 1}} = 2
\end{array} \right..\,$ Tìm Min của biểu thức: $\ P = ab + bc + ca.$
Giải:
Ta thấy: $\ \frac{a}{{a + 1}} = 2 - \left( {\frac{b}{{b + 1}} + \frac{c}{{c + 1}}} \right) = \left( {1 - \frac{b}{{b + 1}}} \right) + \left( {1 - \frac{c}{{c + 1}}} \right) = \frac{1}{{b + 1}} + \frac{1}{{c + 1}} \ge 2\sqrt {\frac{1}{{\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}} .$
Đọc tiếp
Cho các số a,b,c thoả mãn: $\ \left\{ \begin{array}{l}
a,b,c > 0\\
\frac{a}{{a + 1}} + \frac{b}{{b + 1}} + \frac{c}{{c + 1}} = 2
\end{array} \right..\,$ Tìm Min của biểu thức: $\ P = ab + bc + ca.$
Giải:
Ta thấy: $\ \frac{a}{{a + 1}} = 2 - \left( {\frac{b}{{b + 1}} + \frac{c}{{c + 1}}} \right) = \left( {1 - \frac{b}{{b + 1}}} \right) + \left( {1 - \frac{c}{{c + 1}}} \right) = \frac{1}{{b + 1}} + \frac{1}{{c + 1}} \ge 2\sqrt {\frac{1}{{\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}} .$
Thứ Hai, 14 tháng 4, 2014
Chủ Nhật, 13 tháng 4, 2014
Câu tích phân trong đề thi thử THPT Trần Phú - Hà Tĩnh - LẦN 2
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Nóiđùachứ Mình Trogsángthậtmà hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
$\ I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sqrt {3\cot \,x + 1} + x}}{{{{\sin }^2}x}}\,dx} .$
Giải:
Ta có: $\ I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sqrt {3\cot \,x + 1} + x}}{{{{\sin }^2}x}}\,dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sqrt {3\cot \,x + 1} }}{{{{\sin }^2}x}}\,dx} + \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{x}{{{{\sin }^2}x}}\,dx} = {I_1} + {I_2}.$
Đọc tiếp
$\ I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sqrt {3\cot \,x + 1} + x}}{{{{\sin }^2}x}}\,dx} .$
Giải:
Ta có: $\ I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sqrt {3\cot \,x + 1} + x}}{{{{\sin }^2}x}}\,dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sqrt {3\cot \,x + 1} }}{{{{\sin }^2}x}}\,dx} + \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{x}{{{{\sin }^2}x}}\,dx} = {I_1} + {I_2}.$
Thứ Tư, 9 tháng 4, 2014
Nhìn nhận và tư duy để đưa một Bất Đẳng Thức về biểu thức đối xứng.
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Hạnh Phúc Mong Manh hỏi trên Facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho các số thực a, b thoả mãn$\ \left\{ \begin{array}{l}
a,b > 0\\
ab - 3a + 3 = 0
\end{array} \right..\,.$ Tìm GTNN của $\ P = \frac{{{a^2}b}}{{b + 3}} + \frac{9}{{\left( {a + 1} \right){b^2}}}.$
Giải:
Hướng tư duy: Nhìn vào P ta thấy nó chẳng có quy luật gì giữa các biến a và b. Không đối xứng, cũng chẳng phản đối xứng. Các bạn sẽ nghĩ việc rút một biến từ điều kiện rồi thay vào xét hàm nhưng không ổn vì hàm rất phức tạp và quan trọng nó không phải là mong muốn của người ra đề.
Nhưng nhìn nhận ra một chút ta thấy phân thứ thứ nhất của P có THẰNG b trên tử và dưới mẫu nên nếu ta chia cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất của P sẽ thấy xuất hiện một điều đặc biệt. Đây chính là "ÁNH SÁNG CỦA ĐỜI TÔI". Và thầy giải như sau:
Ta có: $\ P = \frac{{{a^2}}}{{1 + \frac{3}{b}}} + \frac{{{{\left( {\frac{3}{b}} \right)}^2}}}{{a + 1}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = x\\
\frac{3}{b} = y
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
P = \frac{{{x^2}}}{{y + 1}} + \frac{{{y^2}}}{{x + 1}}\\
3\frac{x}{y} - 3x + 3 = 0 \Leftrightarrow x + y = xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \Leftrightarrow x + y \ge 4
\end{array} \right.$
Đọc tiếp
Cho các số thực a, b thoả mãn$\ \left\{ \begin{array}{l}
a,b > 0\\
ab - 3a + 3 = 0
\end{array} \right..\,.$ Tìm GTNN của $\ P = \frac{{{a^2}b}}{{b + 3}} + \frac{9}{{\left( {a + 1} \right){b^2}}}.$
Giải:
Hướng tư duy: Nhìn vào P ta thấy nó chẳng có quy luật gì giữa các biến a và b. Không đối xứng, cũng chẳng phản đối xứng. Các bạn sẽ nghĩ việc rút một biến từ điều kiện rồi thay vào xét hàm nhưng không ổn vì hàm rất phức tạp và quan trọng nó không phải là mong muốn của người ra đề.
Nhưng nhìn nhận ra một chút ta thấy phân thứ thứ nhất của P có THẰNG b trên tử và dưới mẫu nên nếu ta chia cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất của P sẽ thấy xuất hiện một điều đặc biệt. Đây chính là "ÁNH SÁNG CỦA ĐỜI TÔI". Và thầy giải như sau:
Ta có: $\ P = \frac{{{a^2}}}{{1 + \frac{3}{b}}} + \frac{{{{\left( {\frac{3}{b}} \right)}^2}}}{{a + 1}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = x\\
\frac{3}{b} = y
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
P = \frac{{{x^2}}}{{y + 1}} + \frac{{{y^2}}}{{x + 1}}\\
3\frac{x}{y} - 3x + 3 = 0 \Leftrightarrow x + y = xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \Leftrightarrow x + y \ge 4
\end{array} \right.$
Thứ Ba, 8 tháng 4, 2014
Bài hình Oxy kiểm tra HK II - THPT Cầu Giấy Hà Nội.
Đề bài: (Câu hỏi của rất nhiều bạn cả online và offline hỏi thầy Trợ Giúp Toán Học)
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1;2;-1), B(7;-2;3) và đường thẳng d có phương trình
$\ \left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 3t\\
y = - 2t\\
z = 4 + 2t
\end{array} \right.$ Tìm trên đường thẳng d điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B nhỏ nhất.
Giải:
Trước khi giải, thầy xin thú nhận một chuyện:
Cách đây 2 ngày, có một bạn hỏi bài này trên facebook nhưng khi ấy bận đi đá bóng. Thầy đã đố một đứa em rằng: "Mi giải được bài ni, tau chua mi 100k", sở dĩ thầy nói vậy vì trong đầu nghĩ được 3 cách giải bài này là đưa MA + MB về hàm f(t), với t là tham số sau đó dùng BĐT Mincopxkia hoặc xét hàm để tìm Min, hoặc dùng BĐT tam giác để tìm Min. Và nó đã bó tay vì hiểu sai đề (tổng khoảng cách, chứ không phải tổng bình phương các khoảng cách). Hả hê vì không mất 100k...
Tiếp tục, ngủ quên trên chiến thắng, tôi lại vào bài đăng của bạn hỏi trên facebook "hống hách" với 3 cách giải trên mà không phát hiện được điều gì đặc biệt.
Tai hại hơn khi chiều nay trên lớp, 2 cậu học ở Cầu Giấy lại hỏi tôi bài này. Tôi cũng mạnh miệng chém có tới ba cách, và tôi chọn cách dùng BĐT tam giác và khi đó M nằm trên AB, dùng điều kiện cùng phương để tìm ra tham số. Và tôi đã lúng túng chỗ này, vì không thấy tồn tại tham số đó, tôi lại test lại đề bài, vẫn không ra...Tôi thấy hơi xấu hổ, nhưng để không mất thời gin của bài mới, tôi hẹn các bạn cuối giờ chữa, nhưng cuối giờ tôi lại quên béng đi...Trên đường về, tôi nhớ lại chuyện đó và quyết tâm, bỏ đi dự giờ buổi tối nay, về nghĩ lại bài đó. Tôi nghĩ nếu áp dụng BĐT tam giác thì M nằm trên AB, khi đó M là giao của AB và d chứ không cần dùng điều kiện cùng phương của vectơ. Tôi lại nghĩ lại, 2 điều kiện này thực chất giống nhau, tại sao nó lại không thể tìm được tham số...Ngẫm lại tôi thấy $\ \overrightarrow {AB} = 2{\overrightarrow u _d} \Rightarrow AB//d.$ Tôi như bừng tỉnh vì M không thể nằm trên AB và rút ra kinh nghiệm cho bản thân MA + MB không phải khi nào cũng có Min là AB. Mấu chốt ở chỗ đó, người ra đề đã thông minh chỗ này...Tôi cá rằng, với đề này, có rất nhiều người lúng túng đấy!
Thầy xin giải lại bài toán này như sau:
Đọc tiếp
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1;2;-1), B(7;-2;3) và đường thẳng d có phương trình
$\ \left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 3t\\
y = - 2t\\
z = 4 + 2t
\end{array} \right.$ Tìm trên đường thẳng d điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B nhỏ nhất.
Giải:
Trước khi giải, thầy xin thú nhận một chuyện:
Cách đây 2 ngày, có một bạn hỏi bài này trên facebook nhưng khi ấy bận đi đá bóng. Thầy đã đố một đứa em rằng: "Mi giải được bài ni, tau chua mi 100k", sở dĩ thầy nói vậy vì trong đầu nghĩ được 3 cách giải bài này là đưa MA + MB về hàm f(t), với t là tham số sau đó dùng BĐT Mincopxkia hoặc xét hàm để tìm Min, hoặc dùng BĐT tam giác để tìm Min. Và nó đã bó tay vì hiểu sai đề (tổng khoảng cách, chứ không phải tổng bình phương các khoảng cách). Hả hê vì không mất 100k...
Tiếp tục, ngủ quên trên chiến thắng, tôi lại vào bài đăng của bạn hỏi trên facebook "hống hách" với 3 cách giải trên mà không phát hiện được điều gì đặc biệt.
Tai hại hơn khi chiều nay trên lớp, 2 cậu học ở Cầu Giấy lại hỏi tôi bài này. Tôi cũng mạnh miệng chém có tới ba cách, và tôi chọn cách dùng BĐT tam giác và khi đó M nằm trên AB, dùng điều kiện cùng phương để tìm ra tham số. Và tôi đã lúng túng chỗ này, vì không thấy tồn tại tham số đó, tôi lại test lại đề bài, vẫn không ra...Tôi thấy hơi xấu hổ, nhưng để không mất thời gin của bài mới, tôi hẹn các bạn cuối giờ chữa, nhưng cuối giờ tôi lại quên béng đi...Trên đường về, tôi nhớ lại chuyện đó và quyết tâm, bỏ đi dự giờ buổi tối nay, về nghĩ lại bài đó. Tôi nghĩ nếu áp dụng BĐT tam giác thì M nằm trên AB, khi đó M là giao của AB và d chứ không cần dùng điều kiện cùng phương của vectơ. Tôi lại nghĩ lại, 2 điều kiện này thực chất giống nhau, tại sao nó lại không thể tìm được tham số...Ngẫm lại tôi thấy $\ \overrightarrow {AB} = 2{\overrightarrow u _d} \Rightarrow AB//d.$ Tôi như bừng tỉnh vì M không thể nằm trên AB và rút ra kinh nghiệm cho bản thân MA + MB không phải khi nào cũng có Min là AB. Mấu chốt ở chỗ đó, người ra đề đã thông minh chỗ này...Tôi cá rằng, với đề này, có rất nhiều người lúng túng đấy!
Thầy xin giải lại bài toán này như sau:
Sử dụng BĐT Mincopxkia tìm Min, Max.
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Nhớ Về Em hỏi qua facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho các số thực x và y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$\ P = \sqrt {{x^2} + {y^2} - 4y + 4} + \sqrt {{x^2} + {y^2} + 4y + 4} + \left| {x - 4} \right|.$
Giải:
Áp dụng BĐT Mincopxkia (Hoặc có thể dùng PP hình học) ta có:
$\ \sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{c^2} + {d^2}} \ge \sqrt {{{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {b + d} \right)}^2}} \left( {\frac{a}{b} = \frac{c}{d}} \right).$
Đọc tiếp
Cho các số thực x và y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$\ P = \sqrt {{x^2} + {y^2} - 4y + 4} + \sqrt {{x^2} + {y^2} + 4y + 4} + \left| {x - 4} \right|.$
Giải:
Áp dụng BĐT Mincopxkia (Hoặc có thể dùng PP hình học) ta có:
$\ \sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{c^2} + {d^2}} \ge \sqrt {{{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {b + d} \right)}^2}} \left( {\frac{a}{b} = \frac{c}{d}} \right).$
Thứ Bảy, 5 tháng 4, 2014
Trích dẫn và chữa hai câu trong đề thi Olympic 30/04 năm 2014.
Câu 1. Giải hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {5{x^2} + 2xy + 2{y^2}} + \sqrt {2{y^2} + 2xy + 5{y^2}} = 3\left( {x + y} \right)\\
\sqrt {2x + y + 1} + 2\sqrt[3]{{7x + 12y + 8}} = 2xy + y + 5
\end{array} \right.$
Câu 2. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: $\ \frac{a}{{\sqrt {7{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + 7{b^2} + {c^2}} }} + \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + 7{c^2}} }} \le 1.$
\sqrt {5{x^2} + 2xy + 2{y^2}} + \sqrt {2{y^2} + 2xy + 5{y^2}} = 3\left( {x + y} \right)\\
\sqrt {2x + y + 1} + 2\sqrt[3]{{7x + 12y + 8}} = 2xy + y + 5
\end{array} \right.$
Câu 2. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: $\ \frac{a}{{\sqrt {7{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + 7{b^2} + {c^2}} }} + \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + 7{c^2}} }} \le 1.$
Thứ Tư, 2 tháng 4, 2014
Sử dụng PP lượng giác hoá giải phương trình vô tỷ.
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Shine Rhm qua facebook Trợ Giúp Toán Học)
Giải phương trình: $\ {x^3} - 3x = \sqrt {x + 2} .$
Giải:
Giải phương trình: $\ {x^3} - 3x = \sqrt {x + 2} .$
Giải:
Các em theo dõi lời giải qua video sau. Nhớ tăng volume máy tính và video maximum nhé!
Trợ giúp toán học bằng Video - New!
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Hoàng Phi Long qua facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2;4). Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với Ox và cắt Oy, Oz lần lượt tại M, N (M, N khác O) sao cho OM = ON.
Giải:
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2;4). Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với Ox và cắt Oy, Oz lần lượt tại M, N (M, N khác O) sao cho OM = ON.
Giải:
Các em theo dõi hướng dẫn giải qua Video dưới đây nhé! Tăng volume máy tính và video lên nhé.
Đăng ký:
Bài đăng (Atom)