Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: $\ 2{x^2} + 8x + 26 = m\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + 5x + 10} .$
Giải:
Ta có: $\ PT \Leftrightarrow 2{\left( {x + 2} \right)^2} + 18 = m\sqrt {{x^2}\left( {x + 2} \right) + 5\left( {x + 2} \right)} \Leftrightarrow 2{\left( {x + 2} \right)^2} + 18 = m\sqrt {\left( {{x^2} + 5} \right)\left( {x + 2} \right)} .$
Đặt $\ t = x + 2 \Rightarrow {x^2} + 5 = {t^2} - 4t + 9 > 0 \Rightarrow 2{t^2} + 18 = m\sqrt {t\left( {{t^2} - 4t + 9} \right)} \left( {t \in \left( {0; + \infty } \right)} \right).$
$\ 2\left( {{t^2} + 9} \right) = m\sqrt {t\left( {{t^2} + 9} \right) - 4{t^2}} \Leftrightarrow 4{\left( {{t^2} + 9} \right)^2} = {m^2}t\left( {{t^2} + 9} \right) - 4{m^2}{t^2}.$
$\ \Leftrightarrow 4{\left( {{t^2} + 9} \right)^2} - {m^2}t\left( {{t^2} + 9} \right) + 4{m^2}{t^2} = 0 \Leftrightarrow 4{\left( {\frac{{{t^2} + 9}}{t}} \right)^2} - {m^2}.\frac{{{t^2} + 9}}{t} + 4{m^2} = 0.$
$\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u = \frac{{{t^2} + 9}}{t} = t + \frac{9}{t} = f\left( t \right) \Rightarrow f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 3 \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow u > Min\,f\left( t \right) = 6\\
4{u^2} - {m^2}u + 4{m^2} = 0 \Leftrightarrow {m^2}\left( {u - 4} \right) = 4{u^2} \Leftrightarrow {m^2} = \frac{{4{u^2}}}{{u - 4}} = g\left( u \right)\left( {u > 6} \right) \Rightarrow g'\left( u \right) = 0 \Leftrightarrow u = 8.
\end{array} \right..$
$\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} \ge Min\,g\left( u \right) = g\left( 8 \right) = 64\\
m \ge 0\left( {2{{\left( {x + 2} \right)}^2} + 18 = m\sqrt {{x^2}\left( {x + 2} \right) + 5\left( {x + 2} \right)} } \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 8.$
Lưu ý: 2 nghiệm x thì phải có 2 nghiệm t, muốn 2 nghiệm t > 0 thì đường thẳng y=u và y=f(t) phải cắt nhau tại 2 điểm dương phân biệt (u là tham số, t là biến). Muốn vậy thì đường thẳng ${y = m^2}$ và y = g(u) phải cắt nhau tại 2 điểm phân biệt lớn hơn 6 (m là tham số, u là biến)
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét