Nhìn nhận và tư duy để đưa một Bất Đẳng Thức về biểu thức đối xứng.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Hạnh Phúc Mong Manh hỏi trên Facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho các số thực a, b thoả mãn$\ \left\{ \begin{array}{l}
a,b > 0\\
ab - 3a + 3 = 0
\end{array} \right..\,.$ Tìm GTNN của  $\ P = \frac{{{a^2}b}}{{b + 3}} + \frac{9}{{\left( {a + 1} \right){b^2}}}.$
Giải:
Hướng tư duy: Nhìn vào P ta thấy nó chẳng có quy luật gì giữa các biến a và b. Không đối xứng, cũng chẳng phản đối xứng. Các bạn sẽ nghĩ việc rút một biến từ điều kiện rồi thay vào xét hàm nhưng không ổn vì hàm rất phức tạp và quan trọng nó không phải là mong muốn của người ra đề.
Nhưng nhìn nhận ra một chút ta thấy phân thứ thứ nhất của P có THẰNG b trên tử và dưới mẫu nên nếu ta chia cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất của P sẽ thấy xuất hiện một điều đặc biệt. Đây chính là "ÁNH SÁNG CỦA ĐỜI TÔI". Và thầy giải như sau:
Ta có: $\ P = \frac{{{a^2}}}{{1 + \frac{3}{b}}} + \frac{{{{\left( {\frac{3}{b}} \right)}^2}}}{{a + 1}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = x\\
\frac{3}{b} = y
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
P = \frac{{{x^2}}}{{y + 1}} + \frac{{{y^2}}}{{x + 1}}\\
3\frac{x}{y} - 3x + 3 = 0 \Leftrightarrow x + y = xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \Leftrightarrow x + y \ge 4
\end{array} \right.$

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có:
$\ {\left( {\sqrt {y + 1} .\frac{x}{{\sqrt {y + 1} }} + \sqrt {x + 1} .\frac{y}{{\sqrt {x + 1} }}} \right)^2} \le \left( {x + y + 2} \right).P \Leftrightarrow P \ge \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{x + y + 2}} = \frac{{{t^2}}}{{t + 2}} = f\left( t \right)\left( {t \ge 4} \right)\,.$
Ta thấy: $\ f'\left( t \right) = \frac{{t\left( {t + 4} \right)}}{{{{\left( {t + 2} \right)}^2}}} > 0,\forall t \ge 4 \Rightarrow Min\,P = \mathop {Min}\limits_{\left[ {4; + \infty } \right)} f\left( t \right) = f\left( 4 \right) = \frac{8}{3}.$
Dấu "=" xảy ra $\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = x + y = 4\\
x = y
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = \frac{3}{2}
\end{array} \right.\,.$