Đề bài: (Câu hỏi của bạn Nhớ Về Em hỏi qua facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho các số thực x và y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$\ P = \sqrt {{x^2} + {y^2} - 4y + 4} + \sqrt {{x^2} + {y^2} + 4y + 4} + \left| {x - 4} \right|.$
Giải:
Áp dụng BĐT Mincopxkia (Hoặc có thể dùng PP hình học) ta có:
$\ \sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{c^2} + {d^2}} \ge \sqrt {{{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {b + d} \right)}^2}} \left( {\frac{a}{b} = \frac{c}{d}} \right).$
$\ \Rightarrow P \ge 2\sqrt {{x^2} + 4} + \left| {x - 4} \right| = f\left( x \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} + \frac{{x - 4}}{{\left| {x - 4} \right|}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \ge 4:\frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} = - 1\left( L \right)\\
0 \le x < 4:2x = \sqrt {{x^2} + 4} \Leftrightarrow x = \frac{2}{{\sqrt 3 }}
\end{array} \right.$
$\ \Rightarrow Min{\kern 1pt} \,P = f\left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) = {\left( {\sqrt 3 + 1} \right)^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{x}{{2 - y}} = \frac{x}{{y + 2}} \Leftrightarrow y = 0\\
x = \frac{2}{{\sqrt 3 }}
\end{array} \right.$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét