Cho $\ \left\{ \begin{array}{l} a,b,c > 0\\ \frac{a}{{a + 1}} + \frac{b}{{b + 1}} + \frac{c}{{c + 1}} = 2 \end{array} \right..\,$ Tìm Min của biểu thức: $\ P = ab + bc + ca.$

Đề bài: (Câu hỏi của cháu Vô Danh hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho các số a,b,c thoả mãn: $\ \left\{ \begin{array}{l}
a,b,c > 0\\
\frac{a}{{a + 1}} + \frac{b}{{b + 1}} + \frac{c}{{c + 1}} = 2
\end{array} \right..\,$ Tìm Min của biểu thức: $\ P = ab + bc + ca.$
Giải:
Ta thấy: $\ \frac{a}{{a + 1}} = 2 - \left( {\frac{b}{{b + 1}} + \frac{c}{{c + 1}}} \right) = \left( {1 - \frac{b}{{b + 1}}} \right) + \left( {1 - \frac{c}{{c + 1}}} \right) = \frac{1}{{b + 1}} + \frac{1}{{c + 1}} \ge 2\sqrt {\frac{1}{{\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}} .$

$\ \left\{ \begin{array}{l}
\frac{a}{{a + 1}} \ge 2\sqrt {\frac{1}{{\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}} \,\,\,\,\left( 1 \right)\\
\frac{b}{{b + 1}} \ge 2\sqrt {\frac{1}{{\left( {c + 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}} \,\,\,\,\left( 2 \right)\\
\frac{c}{{c + 1}} \ge 2\sqrt {\frac{1}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)}}} \,\,\,\,\left( 3 \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{abc}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}} \ge \frac{8}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}} \Leftrightarrow abc \ge 8.$ (Do lấy (1)x(2)x(3))
Mà $\ P = ab + bc + ca \ge 3\sqrt[3]{{\left( {ab.bc.ca} \right)}} = 3\sqrt[3]{{{{\left( {abc} \right)}^2}}} \ge 3\sqrt[3]{{{{\left( 8 \right)}^2}}} = 12 \Rightarrow Min\,P = 12.$
Dấu "=" xảy ra $\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a + 1 = b + 1 = c + 1\\
ab = bc = ca\\
\frac{a}{{a + 1}} + \frac{b}{{b + 1}} + \frac{c}{{c + 1}} = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 2.$