PT & HPT hay!

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Võ Đức hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Bài 01. Giải phương trình: $\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=2-\dfrac{x^2}{4} (*)$
Bài 02. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} 2{y^3} + y + 2x\sqrt {1 - x}  = 3\sqrt {1 - x} \,\,\left( 1 \right)\\ \sqrt {2{y^2} + 1}  + y = 4 + \sqrt {x + 4} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.$
Giải:

BĐT hay

Đề bài (Bài Bất Đẳng Thức trong đề thi tuyển GV Công Chức - Sở GD và ĐT Hà Nội năm 2014)
Cho các số thực dương $a,b,c$ sao cho $a+b+c=1$.
Chứng minh rằng: $\sqrt {\dfrac{{{a^2} + 2ab}}{{{b^2} + 2{c^2}}}}  + \sqrt {\dfrac{{{b^2} + 2bc}}{{{c^2} + 2{a^2}}}}  + \sqrt {\dfrac{{{c^2} + 2ca}}{{{a^2} + 2{b^2}}}}  \ge \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\left( * \right)$
Giải:

BĐT hay.

Đề bài: (Giao cho HS mà mình quên mất cách biến đổi, vì gần 10 năm mới làm lại)
Cho các số thực dương $a,b,c$ sao cho $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng: $2abc\left ( a+b+c \right )\leq \dfrac{5}{9}+a^{4}b^{2}+b^{4}c^{2}+c^{4}a^{2}$
Giải:

Dễ mà không dễ.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Trinh Phuong hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho hình hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A, AB=2a, \widehat{BAC}=120^0.$ Biết rằng $\widehat{SBA}=\widehat{SCA}=90^0,$ góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng $45^0.$ Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ và góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABC)$ theo $a.$
Giải:

Bài tập trò cũ hỏi...

Đề bài: 
Bài 1: Tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức $E=2x^2+9y^2-6xy-12y+2004$
Bài 2: Cho biết ${\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} = {\left( {a + b - 2c} \right)^2} + {\left( {b + c - 2a} \right)^2} + {\left( {c + a - 2b} \right)^2}$. Chứng minh rằng: $a=b=c$

CMR: $\widehat{QNM}=\widehat{PNM}$

Đề bài: (Bài hình thảo luận trong Group TOÁN CHỌN LỌC CẤP 2 – GỢI MỞ TRỰC GIÁC VÀ CẢM HỨNG SÁNG TẠO)
Cho hình chữ nhật $ABCD$. $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AD, BC.$ Trên tia đối của tia $DC$ lấy điểm $P$, $PM$ cắt $AC$ tại $Q$. Chứng minh rằng: $\widehat{QNM}=\widehat{PNM}$
Giải:

$\dfrac{p^2-p-2}{2}$ là lập phương của một số tự nhiên.

Đề bài: (Trích đề thi HSG Thành Phố Hà Nội năm học 2014-2015)
Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $\dfrac{p^2-p-2}{2}$ là lập phương của một số tự nhiên.
Giải:

Giải HPT: $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} - {y^3} = 35\\ 2{x^2} + 3{y^2} = 4x - 9y \end{array} \right.$

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Pham Van Minh hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} - {y^3} = 35\\ 2{x^2} + 3{y^2} = 4x - 9y \end{array} \right.$
Giải:

CMR: $\dfrac{a}{{\sqrt {4{b^2} + bc + 4{c^2}} }} + \dfrac{b}{{\sqrt {4{c^2} + ca + 4{a^2}} }} + \dfrac{c}{{\sqrt {4{a^2} + ab + 4{b^2}} }} \ge 1$

Đề bài: (Một bài bất đẳng thức HAY và ĐẸP cho học sinh THCS ôn thi HSG hoặc THPT Chuyên)
Cho các số thực dương $a,b,c$ sao cho $a^2+b^2>0, b^2+c^2>0, c^2+a^2>0$.\\
Chứng minh rằng: $\dfrac{a}{{\sqrt {4{b^2} + bc + 4{c^2}} }} + \dfrac{b}{{\sqrt {4{c^2} + ca + 4{a^2}} }} + \dfrac{c}{{\sqrt {4{a^2} + ab + 4{b^2}} }} \ge 1$
Giải:

Tính tổng: $sin^2 \alpha+sin^2 \beta+sin^2 \gamma=?$

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Nguyễn Lực hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA, SB, SC$ đôi một vuông góc. Gọi $\alpha, \beta, \gamma$ lần lượt là góc tạo bởi mặt phẳng $(ABC)$ với $(SAB), (SBC), (SCA)$. Tính tổng: $sin^2 \alpha+sin^2 \beta+sin^2 \gamma=?$
Giải:

HPT khó.

Đề bài (Câu hỏi của bạn Võ Đức hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x^4} - 2x = {y^4} - y\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ {\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^3} = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.$
Giải: