Hình Oxy - Dữ kiện như một manh mối!

Đề bài: Câu hỏi của bạn Hương Anh hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy,

cho tam giác ABC có góc $A = {135^0}$ trực tâm H(0; -10), đường cao kẻ từ B có phương trình 3x+y+10=0, trung điểm cạnh BC là $M\left( {\dfrac{1}{2}; - \dfrac{3}{2}} \right)$ và B có tung độ âm. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C?
Giải:
Gọi A', C' lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ A và C.
$\begin{array}{l}
Coi\,B\left( {b; - 3b - 10} \right),\left( {\,b >  - \dfrac{{10}}{3}} \right)\\
 \Rightarrow C\left( {1 - b;3b + 7} \right).\,\\
Do\,\widehat {BAC} = {135^0} \Rightarrow \widehat {BAC'} = {45^0}\\
 \Rightarrow \widehat {C'BA} = {45^0}.\,\\
Do\,\widehat {CC'B} = \widehat {BA'C} = {90^0}
\end{array}$

Khi đó tứ giác BC'A'C nội tiếp.$\Rightarrow {45^0} = \widehat {C'BA} = \widehat {ACH}$ (=1/2 số đo cung A'C')
$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {CHB} = {45^0} \Rightarrow 1 = \left| {\dfrac{{{k_{HC}} - {k_{HB}}}}{{1 + {k_{HC}}.{k_{HB}}}}} \right| \Leftrightarrow 1 = \left| {\dfrac{{{k_{HC}} + 3}}{{1 - 3{k_{HC}}}}} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{k_{HC}} = 2 \Leftrightarrow HC:2x - y - 10 = 0\\
{k_{HC}} =  - \dfrac{1}{2} \Rightarrow HC:x + 2y + 20 = 0
\end{array} \right.\\
Do\,C\left( {1 - b;3b + 7} \right) \in HC \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
2\left( {1 - b} \right) - 3b - 7 - 10 = 0 \Leftrightarrow b =  - 3(t/m) \Rightarrow B\left( { - 3; - 1} \right) \Rightarrow C\left( {4; - 2} \right)\\
1 - b + 2\left( {3b + 7} \right) + 20 = 0 \Leftrightarrow b =  - 7\left( { - 7 <  - \dfrac{{10}}{3}} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\overrightarrow n _{AB}} = {\overrightarrow u _{HC}} = \left( {1;2} \right) \Rightarrow AB:x + 2y + 5 = 0\\
{\overrightarrow n _{AC}} = {\overrightarrow u _{HB}} = \left( {1; - 3} \right) \Rightarrow AC:x - 3y - 10 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow AB \cap AC = A\left( {1; - 3} \right)
\end{array}$