Ngày mai bắt đầu từ hôm nay...

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Black King hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Điểm E thuộc AD( E không trùng A, D)
a, Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng ($\alpha$) qua E, //AB,CD. Thiết diện là hình gì?
b, Gọi G, H lần lượt là trung điểm của AB, CD. Xác định giao điểm của GH với ($\alpha$)?
c, Xác định E thuộc AD sao cho diện tích thiết diện ở câu a đạt Max?
Giải:

a) $\ \left\{ \begin{array}{l}
E \in \left( \alpha  \right)\\
AB//\left( \alpha  \right)\\
CD//\left( \alpha  \right)
\end{array} \right. \Rightarrow $Trong (ACD) dựng EM//CD(M thuộc CD) và trong (ABD) dựng EK//AB(K thuộc AB).
Khi đó: $\ \left( \alpha  \right) \equiv \left( {MEK} \right).$
$\ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
M \in \left( {MEK} \right) \cap \left( {ABC} \right)\\
EK//AB\\
EK \subset \left( {MEK} \right);\,AB \subset \left( {ABC} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left( {MEK} \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN//AB\left( {N \in BC} \right)
\end{array}.$

Dùng cái vặt vảnh, làm cái lớn...

Đề bài: (Câu hỏi của bạn EmYêu Toán  hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)\[Cho\,\left\{ \begin{array}{l}
a,b,c > 0\\
ab + bc + ca \le abc
\end{array} \right..\,CMR:\frac{8}{{a + b}} + \frac{8}{{b + c}} + \frac{8}{{c + a}} \le \frac{{b + c}}{{{a^2}}} + \frac{{c + \,a}}{{{b^2}}} + \frac{{a + b}}{{{c^2}}} + 2\left( * \right)\]Giải:
Ta có: $\ \left\{ \begin{array}{l}
a,b,c > 0\\
ab + bc + ca \le abc
\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \le 1.$

PTLG đưa về PT tích.

Đề bài (Câu hỏi của bạn Minh Phương Ngô hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Giải phương trình: $\ \frac{{2\left[ {{{\left( {sin\,x - cos\,x} \right)}^2} + 2si{n^2}x} \right]}}{{1 + ta{n^2}x}} + sin\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + cos\left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) = 2 + 2\,cos2x\left( * \right).$
Giải: Điều kiện $\ x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z.$

Áp dụng BĐT phụ + Cauchy-Schwarz.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Nguyễn Hiếu hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)\[Cho\,\left\{ \begin{array}{l}
x,y,z > 0\\
x + y + z = 1
\end{array} \right..\,Min\,P = \frac{{{x^2}\left( {y + z} \right)}}{{yz}} + \frac{{{y^2}\left( {z + x} \right)}}{{zx}} + \frac{{{z^2}\left( {x + y} \right)}}{{xy}}\]Giải:
Áp dụng BĐT phụ thường gặp$\ \left( {a + b} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) \ge 4 \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\left( {a = b} \right)$ta có:\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2}\left( {y + z} \right)}}{{yz}} = {x^2}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge \frac{{4{x^2}}}{{y + z}}\\
\frac{{{y^2}\left( {z + x} \right)}}{{zx}} = {y^2}\left( {\frac{1}{z} + \frac{1}{x}} \right) \ge \frac{{4{y^2}}}{{z + x}}\\
\frac{{{z^2}\left( {x + y} \right)}}{{xy}} = {z^2}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge \frac{{4{z^2}}}{{x + y}}
\end{array} \right. \Rightarrow P \ge 4\left( {\frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{z + x}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}}} \right) = 4Q\]

QHVG, góc giữa 2 mặt.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn VerTu Motorbyke hỏi trên facebook cô Hà Nghĩa Phạm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD cạnh a,$SA = a\sqrt 3 $ và SA vuông góc với đáy ABCD. Gọi BM và DN là 2 đường cao của tam giác SBD. a) CMR: $\left( {AMN} \right) \bot \left( {SBC} \right).$          b) Tính $\widehat {\left( {\left( {SAC} \right),\left( {SBC} \right)} \right)}$
Giải:
$\ a)\,CMR:\left( {SBC} \right) \bot \left( {AMN} \right)\,\,\,\,\,.$