Ngày mai bắt đầu từ hôm nay...

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Black King hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Điểm E thuộc AD( E không trùng A, D)
a, Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng ($\alpha$) qua E, //AB,CD. Thiết diện là hình gì?
b, Gọi G, H lần lượt là trung điểm của AB, CD. Xác định giao điểm của GH với ($\alpha$)?
c, Xác định E thuộc AD sao cho diện tích thiết diện ở câu a đạt Max?
Giải:

a) $\ \left\{ \begin{array}{l}
E \in \left( \alpha  \right)\\
AB//\left( \alpha  \right)\\
CD//\left( \alpha  \right)
\end{array} \right. \Rightarrow $Trong (ACD) dựng EM//CD(M thuộc CD) và trong (ABD) dựng EK//AB(K thuộc AB).
Khi đó: $\ \left( \alpha  \right) \equiv \left( {MEK} \right).$
$\ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
M \in \left( {MEK} \right) \cap \left( {ABC} \right)\\
EK//AB\\
EK \subset \left( {MEK} \right);\,AB \subset \left( {ABC} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left( {MEK} \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN//AB\left( {N \in BC} \right)
\end{array}.$

Khi đó thiết diện cần dựng là tứ giác MNKE.
Mà $\ \left\{ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
ME//CD//NK\\
MN//AB//EK
\end{array} \right.\\
\widehat {MNK} = \widehat {NKE} = \widehat {KEM}\\
 = \widehat {EMN} = \widehat {\left( {AB,CD} \right)} = {90^0}
\end{array} \right.$
Vậy tứ giác MNKE là hình chữ nhật.
b) Gọi $\ \left\{ \begin{array}{l}
AH \cap ME = \left\{ P \right\} \Rightarrow PM = PE\\
BH \cap MK = \left\{ Q \right\} \Rightarrow QN = QK
\end{array} \right. \Rightarrow GH \cap PQ = \left\{ O \right\} \Rightarrow $ O là tâm của hình chữ nhật MNKE.
c) Đặt AE = x (0<x<a). Khi đó do$\ \left\{ \begin{array}{l}
ME//CD \Rightarrow \frac{{ME}}{a} = \frac{{ME}}{{CD}} = \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AD}} = \frac{x}{a} \Leftrightarrow ME = x\\
MN//AB \Rightarrow \frac{{a - x}}{a} = \frac{{DE}}{{DA}} = \frac{{CM}}{{CA}} = \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{MN}}{a} \Leftrightarrow MN = a - x
\end{array} \right.\,.$\[ \Rightarrow {S_{MNKE}} = MN.ME = x\left( {a - x} \right) \le {\left( {\frac{{x + a - x}}{2}} \right)^2}\left( {Cauchy} \right) = \frac{{{a^2}}}{4} \Rightarrow Max\,{S_{MNKE}} = \frac{{{a^2}}}{4}\] Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow x = a - x \Leftrightarrow x = \frac{a}{2}$ hay E là trung điểm của AD.