Áp dụng BĐT phụ + Cauchy-Schwarz.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Nguyễn Hiếu hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học) $$Cho\,\left\{ \begin{array}{l} x,y,z > 0\\ x + y + z = 1 \end{array} \right..\,Min\,P = \frac{{{x^2}\left( {y + z} \right)}}{{yz}} + \frac{{{y^2}\left( {z + x} \right)}}{{zx}} + \frac{{{z^2}\left( {x + y} \right)}}{{xy}}$$ Giải:
Áp dụng BĐT phụ thường gặp$\ \left( {a + b} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) \ge 4 \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\left( {a = b} \right)$ta có: $$\left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2}\left( {y + z} \right)}}{{yz}} = {x^2}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge \frac{{4{x^2}}}{{y + z}}\\ \frac{{{y^2}\left( {z + x} \right)}}{{zx}} = {y^2}\left( {\frac{1}{z} + \frac{1}{x}} \right) \ge \frac{{4{y^2}}}{{z + x}}\\ \frac{{{z^2}\left( {x + y} \right)}}{{xy}} = {z^2}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge \frac{{4{z^2}}}{{x + y}} \end{array} \right. \Rightarrow P \ge 4\left( {\frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{z + x}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}}} \right) = 4Q$$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz$\ {\left( {a\,x + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \Leftrightarrow \frac{x}{a} = \frac{y}{b}$ta có: $$\begin{array}{l} {\left( {x + y + z} \right)^2} = {\left( {\sqrt {y + z} .\frac{x}{{\sqrt {y + z} }} + \sqrt {z + x} .\frac{y}{{\sqrt {z + x} }} + \sqrt {x + y} \frac{z}{{\sqrt {x + y} }}} \right)^2} \le 2\left( {x + y + z} \right)Q\\  \Leftrightarrow Q \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{2\left( {x + y + z} \right)}} = \frac{{x + y + z}}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow P \ge 4Q \ge 4.\frac{1}{2} = 2 \Rightarrow Min\,P = 2 \Leftrightarrow x = y = z = \frac{1}{3} \end{array}$$