Đề bài: (Câu hỏi của bạn EmYêu Toán hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)\[Cho\,\left\{ \begin{array}{l}
a,b,c > 0\\
ab + bc + ca \le abc
\end{array} \right..\,CMR:\frac{8}{{a + b}} + \frac{8}{{b + c}} + \frac{8}{{c + a}} \le \frac{{b + c}}{{{a^2}}} + \frac{{c + \,a}}{{{b^2}}} + \frac{{a + b}}{{{c^2}}} + 2\left( * \right)\]Giải:
Ta có: $\ \left\{ \begin{array}{l}
a,b,c > 0\\
ab + bc + ca \le abc
\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \le 1.$
Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc: $\ \left( {x + y} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge 4 \Leftrightarrow \frac{4}{{x + y}} \le \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\left( {x = y} \right)$\[\begin{array}{l}
\Rightarrow \frac{8}{{a + b}} \le 2\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right);\,\frac{8}{{b + c}} \le 2\left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right);\,\frac{8}{{c + a}} \le 2\left( {\frac{1}{c} + \frac{1}{a}} \right) \Rightarrow V{T_{\left( * \right)}} \le 4\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\left( 1 \right)\\
V{P_{\left( * \right)}} = \left( {\frac{a}{{{b^2}}} + \frac{b}{{{a^2}}}} \right) + \left( {\frac{b}{{{c^2}}} + \frac{c}{{{b^2}}}} \right) + \left( {\frac{c}{{{a^2}}} + \frac{a}{{{c^2}}}} \right) + 2 = \frac{{{a^3} + {b^3}}}{{{{\left( {ab} \right)}^2}}} + \frac{{{b^3} + {c^3}}}{{{{\left( {bc} \right)}^2}}} + \frac{{{c^3} + {a^3}}}{{{{\left( {ca} \right)}^2}}} + 2\\
Do\,{a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) \ge \left( {a + b} \right)\left( {2ab - ab} \right) = ab\left( {a + b} \right) \Rightarrow \frac{{{a^3} + {b^3}}}{{{{\left( {ab} \right)}^2}}} \ge \frac{{a + b}}{{ab}} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\\
\Rightarrow \frac{{{b^3} + {c^3}}}{{{{\left( {bc} \right)}^2}}} \ge \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\& \frac{{{c^3} + {a^3}}}{{{{\left( {ca} \right)}^2}}} \ge \frac{1}{c} + \frac{1}{a} \Rightarrow V{P_{\left( * \right)}} \ge 2\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + 1} \right) \ge 4\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\left( 2 \right)
\end{array}\]Từ (1) và (2) ta được điều phải chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét