Đề bài: (Câu 5 đề thi học sinh giỏi tỉnh Nam Định năm 2014)
Tính $\ I = \int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{{x^2}{{\ln }^2}x + \left( {x + 1} \right)\ln x + 1}}{{x\ln x\left( {x\ln x + 1} \right)}}} dx.$
Giải:
Ta có: $\ I = \int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{x\ln x\left( {x\ln x + 1} \right) + \ln x + 1}}{{x\ln x\left( {x\ln x + 1} \right)}}} dx = \int\limits_e^{{e^2}} {\left[ {1 + \frac{{\ln x + 1}}{{x\ln x\left( {x\ln x + 1} \right)}}} \right]} dx = \left( {{e^2} - e} \right) + J.$
Xét $\ J = \int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{\ln x + 1}}{{x\ln x\left( {x\ln x + 1} \right)}}} dx.$
Đặt $\ t = x\ln x \Rightarrow dt = \left( {\ln x + 1} \right)dx \Leftrightarrow dx = \frac{{dt}}{{\ln x + 1}}.$
$\ \Rightarrow J = \int\limits_e^{2{e^2}} {\frac{{dt}}{{t\left( {t + 1} \right)}}} = \ln \left| {\frac{t}{{t + 1}}} \right|\left| \begin{array}{l}
2{e^2}\\
e
\end{array} \right. = \ln \frac{{2e\left( {e + 1} \right)}}{{2{e^2} + 1}} \Rightarrow I = \left( {{e^2} - e} \right) + \ln \frac{{2e\left( {e + 1} \right)}}{{2{e^2} + 1}}.$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét