Tích phân hàm vô tỷ.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Nguyễn Nguyệt hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Tính nguyên hàm: $I = \int {\dfrac{{dx}}{{1 + x + \sqrt {{x^2} + 1} }}} .$
Giải:

$\begin{array}{l}
Do\,\dfrac{1}{{1 + x + \sqrt {{x^2} + 1} }} = \dfrac{{1 + x - \sqrt {{x^2} + 1} }}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2} - \left( {1 + {x^2}} \right)}} = \dfrac{{1 + x - \sqrt {{x^2} + 1} }}{{2x}} = \dfrac{{1 + x}}{{2x}} - \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2x}}\\
 \Rightarrow I = \int {\dfrac{{dx}}{{1 + x + \sqrt {{x^2} + 1} }}}  = \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{1 + x}}{x}dx - } \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}dx = \dfrac{1}{2}\left( {A - B} \right)} \\
 \bullet A = \int {\dfrac{{1 + x}}{x}dx = \int {\left( {\dfrac{1}{x} + 1} \right)dx = x + \ln \left| x \right| + {C_1}} } \\
 \bullet B = \int {\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}dx} .\,Coi\,u = \sqrt {{x^2} + 1}  \Rightarrow {u^2} = {x^2} + 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2udu = 2xdx \Leftrightarrow dx = \dfrac{{udu}}{x}\\
{x^2} = {u^2} - 1
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow B = \int {\dfrac{{{u^2}}}{{{u^2} - 1}}du = \int {\left( {1 + \dfrac{1}{{{u^2} - 1}}} \right)du}  = \int {\left[ {1 + \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{u - 1}} - \dfrac{1}{{u + 1}}} \right)} \right]} du = u + \dfrac{1}{2}\ln \left| {\dfrac{{u - 1}}{{u + 1}}} \right|} \\
 = \sqrt {{x^2} + 1}  + \dfrac{1}{2}\ln \left| {\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}} \right| = \sqrt {{x^2} + 1}  + \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}} + {C_2}\\
 \Rightarrow I = \dfrac{1}{2}\left( {A - B} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {x + \ln \left| x \right| - \sqrt {{x^2} + 1} } \right) - \dfrac{1}{4}\ln \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}} + C
\end{array}.$