Một trong những bài đổi biến số đặc biệt.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Mon Kulz hỏi trên facebook Trợ Guýp Toán Học)
Tính $\ I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin \,x\sin \,2xdx}}{{{e^x} + 1}}} .$

Giải:

Đặt $\ t =  - x \Leftrightarrow dx =  - dt;x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t =  - \frac{\pi }{2};\,x =  - \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = \frac{\pi }{2}.$

$\  \Rightarrow I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin \,t\sin \,2tdt}}{{{e^{ - t}} + 1}} = } \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{e^t}\sin \,t\sin \,2tdt}}{{\frac{1}{{{e^t}}} + 1}} = } \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{e^t}\sin \,t\sin \,2tdt}}{{{e^t} + 1}}} .$
$\  \Rightarrow 2I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{e^t}\sin \,t\sin \,2tdt}}{{{e^t} + 1}} + } \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin \,t\sin \,2tdt}}{{{e^t} + 1}} = } \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\left( {{e^x} + 1} \right)\sin \,t\sin \,2tdt}}{{{e^t} + 1}} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin \,t\sin \,2tdt} } .$
$\  = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {2{{\sin }^2}t\,\,d\left( {\sin t} \right)}  = \frac{2}{3}{\sin ^3}t\left| \begin{array}{l} \frac{\pi }{2}\\  - \frac{\pi }{2} \end{array} \right. = \frac{4}{3} \Rightarrow I = \frac{2}{3}.$