Tính tích phân: $\ I = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^4} + {x^2} + 1}}{{{x^6} + 1}}dx} .$

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Anonymous hỏi trong mục Post bài tập toán của Blog)
Tính tích phân: $\ I = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^4} + {x^2} + 1}}{{{x^6} + 1}}dx} .$
Giải:
Ta có: $\ I = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^4} - {x^2} + 1 + 2{x^2}}}{{{x^6} + 1}}dx}  = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^4} - {x^2} + 1}}{{{x^6} + 1}}dx}  + 2\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{{{x^6} + 1}}dx} .$
             $\  = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 1}}}  + 2\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{{{x^6} + 1}}dx}  = arctan\,x\left| \begin{array}{l}
1\\
0
\end{array} \right. + \frac{2}{3}arctan\,{x^3}\left| \begin{array}{l}
1\\
0
\end{array} \right. = \frac{\pi }{4} + \frac{2}{3}.\frac{\pi }{4} = \frac{{5\pi }}{{12}}.$