Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn$\ a + b + c = \frac{3}{4}.$ Tìm Min của:
$\ P = \frac{1}{{\sqrt[3]{{a + 3b}}}} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{b + 3c}}}} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{c + 3a}}}}.$
Giải:
Bài này dễ dàng chọn điểm rơi được ngay $\ a = b = c = \frac{1}{4} \Rightarrow a + 3b = b + 3c = c + 3a = 1.$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số (a+3b); 1 và 1 ta có:
$\ \sqrt[3]{{a + 3b}} = \sqrt[3]{{\left( {a + 3b} \right).1.1}} \le \frac{{a + 3b + 2}}{3} \Rightarrow P \ge 3\left( {\frac{1}{{a + 3b + 2}} + \frac{1}{{b + 3c + 2}} + \frac{1}{{c + 3a + 2}}} \right).$
Lại áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có:
$\ \frac{1}{{a + 3b + 2}} + \frac{1}{{b + 3c + 2}} + \frac{1}{{c + 3a + 2}} \ge \frac{9}{{4\left( {a + b + c} \right) + 6}} = 1 \Rightarrow Min\,P = 1.$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1/4
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét