Processing math: 100%

Thứ Ba, 26 tháng 11, 2013

Tính giá trị của biểu thức: S = \frac{1}{{z_1^4}} + \frac{1}{{z_2^4}} + \frac{1}{{z_3^4}} + \frac{1}{{z_4^4}}

Đề bài (Bài của bạn Nguyễn Tiến hỏi trên mục hỏi&đáp )
Giả sử phương trình\ {z^4} - 2{z^3} + 6{z^2} - 8z + 8 = 0 có 4 nghiệm \ {z_1};{z_2};{z_3};{z_4} \in C. Tính giá trị của biểu thức: S = \frac{1}{{z_1^4}} + \frac{1}{{z_2^4}} + \frac{1}{{z_3^4}} + \frac{1}{{z_4^4}}

Giải:
Chúng ta sẽ sử dụng PP hệ số bất định để phân tích đa thức bậc 4 về nhân tử như sau:
Giả sử: \ {z^4} - 2{z^3} + 6{z^2} - 8z + 8 = \left( {{z^2} + az + 2} \right)\left( {{z^2} + bz + 4} \right).
Nhân ra và đồng nhất các hệ số ta có: \ \left\{ \begin{array}{l} a + b =  - 2\\ ab + 6 = 6\\ 4a + 2b =  - 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a =  - 2\\ b = 0 \end{array} \right. \Rightarrow {z^4} - 2{z^3} + 6{z^2} - 8z + 8 = \left( {{z^2} - 2z + 2} \right)\left( {{z^2} + 4} \right) = 0.

Giả sử \ {z_1};{z_2} là 2 nghiệm phức của PT \ {z^2} - 2z + 2 = 0\ {z_3};{z_4} là 2 nghiệm phức của PT \ {z^2} + 4 = 0
Áp dụng ĐL Viet ta có:\ \left\{ \begin{array}{l} {z_1} + {z_2} = 2\\ {z_1}{z_2} = 2 \end{array} \right. \Rightarrow \frac{1}{{z_1^4}} + \frac{1}{{z_2^4}} = \frac{{{{\left[ {{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}^2} - 2{z_1}{z_2}} \right]}^2} - 2z_1^2z_2^2}}{{{{\left( {{z_1}{z_2}} \right)}^4}}} = \frac{{{{\left( {4 - 4} \right)}^2} - 2.4}}{{{2^4}}} =  - \frac{1}{2}.
Và ta có: \ \left\{ \begin{array}{l} {z_3} + {z_4} = 0\\ {z_3}{z_4} = 4 \end{array} \right. \Rightarrow \frac{1}{{z_3^4}} + \frac{1}{{z_4^4}} = \frac{{{{\left[ {{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}^2} - 2{z_1}{z_2}} \right]}^2} - 2z_1^2z_2^2}}{{{{\left( {{z_1}{z_2}} \right)}^4}}} = \frac{{{{\left( {0 - 8} \right)}^2} - {{2.4}^2}}}{{{4^4}}} = \frac{1}{8}.
Vậy \ S = \frac{1}{{z_1^4}} + \frac{1}{{z_2^4}} + \frac{1}{{z_3^4}} + \frac{1}{{z_4^4}} =  - \frac{1}{2} + \frac{1}{8} =  - \frac{3}{8}.

Không có nhận xét nào: