Giả sử phương trình$\ {z^4} - 2{z^3} + 6{z^2} - 8z + 8 = 0$ có 4 nghiệm $\ {z_1};{z_2};{z_3};{z_4} \in C.$ Tính giá trị của biểu thức: \[S = \frac{1}{{z_1^4}} + \frac{1}{{z_2^4}} + \frac{1}{{z_3^4}} + \frac{1}{{z_4^4}}\]
Giải:
Chúng ta sẽ sử dụng PP hệ số bất định để phân tích đa thức bậc 4 về nhân tử như sau:
Giả sử: $\ {z^4} - 2{z^3} + 6{z^2} - 8z + 8 = \left( {{z^2} + az + 2} \right)\left( {{z^2} + bz + 4} \right).$
Nhân ra và đồng nhất các hệ số ta có: $\ \left\{ \begin{array}{l}
a + b = - 2\\
ab + 6 = 6\\
4a + 2b = - 8
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - 2\\
b = 0
\end{array} \right. \Rightarrow {z^4} - 2{z^3} + 6{z^2} - 8z + 8 = \left( {{z^2} - 2z + 2} \right)\left( {{z^2} + 4} \right) = 0.$
Giả sử $\ {z_1};{z_2}$ là 2 nghiệm phức của PT $\ {z^2} - 2z + 2 = 0$ và $\ {z_3};{z_4}$ là 2 nghiệm phức của PT $\ {z^2} + 4 = 0$
Áp dụng ĐL Viet ta có:$\ \left\{ \begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} = 2\\
{z_1}{z_2} = 2
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{1}{{z_1^4}} + \frac{1}{{z_2^4}} = \frac{{{{\left[ {{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}^2} - 2{z_1}{z_2}} \right]}^2} - 2z_1^2z_2^2}}{{{{\left( {{z_1}{z_2}} \right)}^4}}} = \frac{{{{\left( {4 - 4} \right)}^2} - 2.4}}{{{2^4}}} = - \frac{1}{2}.$
Và ta có: $\ \left\{ \begin{array}{l}
{z_3} + {z_4} = 0\\
{z_3}{z_4} = 4
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{1}{{z_3^4}} + \frac{1}{{z_4^4}} = \frac{{{{\left[ {{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}^2} - 2{z_1}{z_2}} \right]}^2} - 2z_1^2z_2^2}}{{{{\left( {{z_1}{z_2}} \right)}^4}}} = \frac{{{{\left( {0 - 8} \right)}^2} - {{2.4}^2}}}{{{4^4}}} = \frac{1}{8}.$
Vậy $\ S = \frac{1}{{z_1^4}} + \frac{1}{{z_2^4}} + \frac{1}{{z_3^4}} + \frac{1}{{z_4^4}} = - \frac{1}{2} + \frac{1}{8} = - \frac{3}{8}.$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét