Bài hình Oxy kiểm tra HK II - THPT Cầu Giấy Hà Nội.

Đề bài: (Câu hỏi của rất nhiều bạn cả online và offline hỏi thầy Trợ Giúp Toán Học)
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1;2;-1), B(7;-2;3) và đường thẳng d có phương trình
$\ \left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 3t\\
y =  - 2t\\
z = 4 + 2t
\end{array} \right.$ Tìm trên đường thẳng d điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B nhỏ nhất.
Giải:
Trước khi giải, thầy xin thú nhận một chuyện:
Cách đây 2 ngày, có một bạn hỏi bài này trên facebook nhưng khi ấy bận đi đá bóng. Thầy đã đố một đứa em rằng: "Mi giải được bài ni, tau chua mi 100k", sở dĩ thầy nói vậy vì trong đầu nghĩ được 3 cách giải bài này là đưa MA + MB về hàm f(t), với t là tham số sau đó dùng BĐT Mincopxkia hoặc xét hàm để tìm Min, hoặc dùng BĐT tam giác để tìm Min. Và nó đã bó tay vì hiểu sai đề (tổng khoảng cách, chứ không phải tổng bình phương các khoảng cách). Hả hê vì không mất 100k...
Tiếp tục, ngủ quên trên chiến thắng, tôi lại vào bài đăng của bạn hỏi trên facebook "hống hách" với 3 cách giải trên mà không phát hiện được điều gì đặc biệt.
Tai hại hơn khi chiều nay trên lớp, 2 cậu học ở Cầu Giấy lại hỏi tôi bài này. Tôi cũng mạnh miệng chém có tới ba cách, và tôi chọn cách dùng BĐT tam giác và khi đó M nằm trên AB, dùng điều kiện cùng phương để tìm ra tham số. Và tôi đã lúng túng chỗ này, vì không thấy tồn tại tham số đó, tôi lại test lại đề bài, vẫn không ra...Tôi thấy hơi xấu hổ, nhưng để không mất thời gin của bài mới, tôi hẹn các bạn cuối giờ chữa, nhưng cuối giờ tôi lại quên béng đi...Trên đường về, tôi nhớ lại chuyện đó và quyết tâm, bỏ đi dự giờ buổi tối nay, về nghĩ lại bài đó. Tôi nghĩ nếu áp dụng BĐT tam giác thì M nằm trên AB, khi đó M là giao của AB và d chứ không cần dùng điều kiện cùng phương của vectơ. Tôi lại nghĩ lại, 2 điều kiện này thực chất giống nhau, tại sao nó lại không thể tìm được tham số...Ngẫm lại tôi thấy $\ \overrightarrow {AB}  = 2{\overrightarrow u _d} \Rightarrow AB//d.$ Tôi như bừng tỉnh vì M không thể nằm trên AB và rút ra kinh nghiệm cho bản thân MA + MB không phải khi nào cũng có Min là AB. Mấu chốt ở chỗ đó, người ra đề đã thông minh chỗ này...Tôi cá rằng, với đề này, có rất nhiều người lúng túng đấy!
Thầy xin giải lại bài toán này như sau:

Gọi $\ M\left( {3t + 2; - 2t;2t + 4} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
MA = \sqrt {{{\left( {3t + 1} \right)}^2} + {{\left( {2t + 2} \right)}^2} + {{\left( {2t + 5} \right)}^2}}  = \sqrt {17{t^2} + 34t + 30} \\
MB = \sqrt {{{\left( {3t - 5} \right)}^2} + {{\left( {2t - 2} \right)}^2} + {{\left( {2t + 1} \right)}^2}}  = \sqrt {17{t^2} - 34t + 30}
\end{array} \right.$
$\  \Rightarrow MA + MB = f\left( t \right) = \sqrt {17{t^2} + 34t + 30}  + \sqrt {17{t^2} - 34t + 30} .$
- Cách 1: (Dùng BĐT Mincopxkia - Dành cho lớp 10, các em có thể chứng minh BĐT phụ, rồi áp dụng)
Theo BĐT Mincopxkia ta có: $\ \sqrt {{a^2} + {b^2}}  + \sqrt {{c^2} + {d^2}}  \ge \sqrt {{{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {b + d} \right)}^2}} $, dấu "=" xảy ra khi $\ \frac{a}{b} = \frac{c}{d}.$
$\ \begin{array}{l}
 \Rightarrow f\left( t \right) = \sqrt {{{\left[ {\sqrt {17} \left( {t + 1} \right)} \right]}^2} + {{\left( {\sqrt {13} } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left[ {\sqrt {17} \left( {1 - t} \right)} \right]}^2} + {{\left( {\sqrt {13} } \right)}^2}}  \ge \sqrt {{{\left( {2\sqrt {17} } \right)}^2} + {{\left( {2\sqrt {13} } \right)}^2}}  = 2\sqrt {30} \\
 \Rightarrow Min\left( {MA + MB} \right) = 2\sqrt {30}  \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {13} }}{{\sqrt {17} \left( {t + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt {13} }}{{\sqrt {17} \left( {1 - t} \right)}} \Leftrightarrow t + 1 = 1 - t \Leftrightarrow t = 0 \Leftrightarrow M\left( {2;0;4} \right)
\end{array}.$
- Cách 2: (Dùng hàm số - Dành cho lớp 12, chịu khó giải PT vô tỷ tẹo)
$\ \begin{array}{l}
f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{t + 1}}{{\sqrt {17{t^2} + 34t + 30} }} = \frac{{1 - t}}{{\sqrt {17{t^2} - 34t + 30} }} \Leftrightarrow \frac{{1 + t}}{{1 - t}} = \sqrt {\frac{{17{{\left( {t + 1} \right)}^2} + 13}}{{17{{\left( {t - 1} \right)}^2} + 13}}} \\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t \in \left[ { - 1;1} \right)\\
{\left( {t + 1} \right)^2}\left[ {17{{\left( {t - 1} \right)}^2} + 13} \right] = {\left( {t - 1} \right)^2}\left[ {17{{\left( {t + 1} \right)}^2} + 13} \right]
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t \in \left[ { - 1;1} \right)\\
\left| {t + 1} \right| = \left| {t - 1} \right|
\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 0\\
 \Rightarrow Min\left( {MA + MB} \right) = Min\,f\left( t \right) = f\left( 0 \right) = 2\sqrt {30}  \Leftrightarrow t = 0 \Leftrightarrow M\left( {2;0;4} \right)
\end{array}.$