Đề bài: (Đề thi thử ĐH lần I - THPT Chu Văn An - Hà Nội.)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: $\ ab + bc + ca \le 3abc.$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $\ P = \frac{1}{{2{a^3} + {b^3} + 6}} + \frac{1}{{2{b^3} + {c^3} + 6}} + \frac{1}{{2{c^3} + {a^3} + 6}}.$
Giải:
Bài toán cũng khá hay! Đúng "tư tưởng" của Bộ GD&ĐT: Biến đổi giả thiết, rồi biến đổi biểu thức.
- Biến đổi giả thiết: $\ ab + bc + ca \le 3abc \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \le 3.$
- Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số ta được: $\ \left\{ \begin{array}{l}
2{a^3} + {b^3} + 6 = 2\left( {{a^3} + 1} \right) + \left( {{b^3} + 1} \right) + 3\\
{x^3} + 1 = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1 - x} \right) \ge x\left( {x + 1} \right)
\end{array} \right.$
Thứ Sáu, 28 tháng 2, 2014
Thứ Tư, 26 tháng 2, 2014
Tìm Min: $\ P = MA\sqrt 7 + MB\sqrt {11} + MC\sqrt {23} + MD\sqrt {43} .$
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Ngân Tồ hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc. M là một điểm bất kì trong không gian. Biết AB=4, AC=8, AD=12. Tìm giá trị nhỏ nhất của: $\ P = MA\sqrt 7 + MB\sqrt {11} + MC\sqrt {23} + MD\sqrt {43} .$
Giải:
Ban đầu ta sẽ "Đi tìm sự thật" về bộ số$\ \sqrt 7 ,\sqrt {11} ,\sqrt {23} ,\sqrt {43} .$
Thật vậy, trong các bài cực trị hình học, ở 2D khi cho một tam giác và một điểm M bất kỳ thì người ta sẽ quan tâm đến trọng tâm của tam giác đó. Trong 3D, khi cho tứ diện và một điểm M lơ lửng trong không gian thì người ta lại quan tâm đến trọng tâm của tứ diện đó.
Chọn $\ \left( {O;\,Ox,Oy,Oz} \right) \equiv \left( {A;AB,AC,AD} \right) \Rightarrow A\left( {0;0;0} \right),B\left( {4;0;0} \right),C\left( {0;8;0} \right),D\left( {0;0;12} \right).$
Đọc tiếp
Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc. M là một điểm bất kì trong không gian. Biết AB=4, AC=8, AD=12. Tìm giá trị nhỏ nhất của: $\ P = MA\sqrt 7 + MB\sqrt {11} + MC\sqrt {23} + MD\sqrt {43} .$
Giải:
Ban đầu ta sẽ "Đi tìm sự thật" về bộ số$\ \sqrt 7 ,\sqrt {11} ,\sqrt {23} ,\sqrt {43} .$
Thật vậy, trong các bài cực trị hình học, ở 2D khi cho một tam giác và một điểm M bất kỳ thì người ta sẽ quan tâm đến trọng tâm của tam giác đó. Trong 3D, khi cho tứ diện và một điểm M lơ lửng trong không gian thì người ta lại quan tâm đến trọng tâm của tứ diện đó.
Chọn $\ \left( {O;\,Ox,Oy,Oz} \right) \equiv \left( {A;AB,AC,AD} \right) \Rightarrow A\left( {0;0;0} \right),B\left( {4;0;0} \right),C\left( {0;8;0} \right),D\left( {0;0;12} \right).$
Tính giới hạn: $\ L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 2x} - 2\sqrt {{x^2} + x} + x} \right).$
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Chuột Nhắt hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Tính giới hạn: $\ L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 2x} - 2\sqrt {{x^2} + x} + x} \right).$
Giải:
Sử dụng phương pháp nhân liên hợp liên tục ta có:
$\ L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 2x} + x - 2\sqrt {{x^2} + x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x\left[ {{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2x} + x} \right)}^2} - 4\left( {{x^2} + x} \right)} \right]}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} + x + 2\sqrt {{x^2} + x} }}.$
Đọc tiếp
Tính giới hạn: $\ L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 2x} - 2\sqrt {{x^2} + x} + x} \right).$
Giải:
Sử dụng phương pháp nhân liên hợp liên tục ta có:
$\ L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 2x} + x - 2\sqrt {{x^2} + x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x\left[ {{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2x} + x} \right)}^2} - 4\left( {{x^2} + x} \right)} \right]}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} + x + 2\sqrt {{x^2} + x} }}.$
Thứ Hai, 24 tháng 2, 2014
Bất đẳng thức hay - Khơi nguồn cho sự sáng tạo đề thi thử ĐH năm 2014.
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Như Mập Hà hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1.
Chứng minh rằng: $\ \frac{{x\left( {y + z} \right)}}{{4 - 9yz}} + \frac{{y\left( {z + x} \right)}}{{4 - 9zx}} + \frac{{z\left( {x + y} \right)}}{{4 - 9xy}} \ge 6xyz.$
Giải:
BĐT cần chứng minh$\ \Leftrightarrow \frac{{y + z}}{{yz\left( {4 - 9yz} \right)}} + \frac{{z + x}}{{zx\left( {4 - 9zx} \right)}} + \frac{{x + y}}{{xy\left( {4 - 9xy} \right)}} \ge 6.$ (*)
Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức Côsi cho 2 số ta có:
Đọc tiếp
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1.
Chứng minh rằng: $\ \frac{{x\left( {y + z} \right)}}{{4 - 9yz}} + \frac{{y\left( {z + x} \right)}}{{4 - 9zx}} + \frac{{z\left( {x + y} \right)}}{{4 - 9xy}} \ge 6xyz.$
Giải:
BĐT cần chứng minh$\ \Leftrightarrow \frac{{y + z}}{{yz\left( {4 - 9yz} \right)}} + \frac{{z + x}}{{zx\left( {4 - 9zx} \right)}} + \frac{{x + y}}{{xy\left( {4 - 9xy} \right)}} \ge 6.$ (*)
Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức Côsi cho 2 số ta có:
Đăng ký:
Bài đăng (Atom)