Tính giới hạn: $\ L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 2x} - 2\sqrt {{x^2} + x} + x} \right).$

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Chuột Nhắt hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Tính giới hạn: $\ L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 2x}  - 2\sqrt {{x^2} + x}  + x} \right).$
Giải:
Sử dụng phương pháp nhân liên hợp liên tục ta có:
$\ L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 2x}  + x - 2\sqrt {{x^2} + x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x\left[ {{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2x}  + x} \right)}^2} - 4\left( {{x^2} + x} \right)} \right]}}{{\sqrt {{x^2} + 2x}  + x + 2\sqrt {{x^2} + x} }}.$

$\  = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x\left[ {2x\sqrt {{x^2} + 2x}  - 2{x^2} - 2x} \right]}}{{\sqrt {{x^2} + 2x}  + x + 2\sqrt {{x^2} + x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2{x^2}\left[ {\sqrt {{x^2} + 2x}  - \left( {x + 1} \right)} \right]}}{{\sqrt {{x^2} + 2x}  + x + 2\sqrt {{x^2} + x} }}.$
$\  = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2{x^2}\left[ {{x^2} + 2x - {{\left( {x + 1} \right)}^2}} \right]}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2x}  + x + 2\sqrt {{x^2} + x} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 2x}  + x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{ - 2{x^2}}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2x}  + x + 2\sqrt {{x^2} + x} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 2x}  + x + 1} \right)}}.$
$\  = \left[ \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 2}}{{\left( {\sqrt {1 + \frac{2}{x}}  + 1 + 2\sqrt {1 + \frac{1}{x}} } \right)\left( {\sqrt {1 + \frac{2}{x}}  + 1 + \frac{1}{x}} \right)}} = \frac{{ - 2}}{{\left( {1 + 1 + 2} \right)\left( {1 + 1} \right)}} =  - \frac{1}{4}\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 2}}{{\left( { - \sqrt {1 + \frac{2}{x}}  + 1 - 2\sqrt {1 + \frac{1}{x}} } \right)\left( { - \sqrt {1 + \frac{2}{x}}  + 1 + \frac{1}{x}} \right)}} = \frac{{ - 2}}{{\left( { - 1 + 1 - 2} \right)\left( { - 1 + 1} \right)}} =  - \infty
\end{array} \right.$