Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: $\ ab + bc + ca \le 3abc.$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $\ P = \frac{1}{{2{a^3} + {b^3} + 6}} + \frac{1}{{2{b^3} + {c^3} + 6}} + \frac{1}{{2{c^3} + {a^3} + 6}}.$
Giải:
Bài toán cũng khá hay! Đúng "tư tưởng" của Bộ GD&ĐT: Biến đổi giả thiết, rồi biến đổi biểu thức.
- Biến đổi giả thiết: $\ ab + bc + ca \le 3abc \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \le 3.$
- Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số ta được: $\ \left\{ \begin{array}{l}
2{a^3} + {b^3} + 6 = 2\left( {{a^3} + 1} \right) + \left( {{b^3} + 1} \right) + 3\\
{x^3} + 1 = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1 - x} \right) \ge x\left( {x + 1} \right)
\end{array} \right.$
$\ \Leftrightarrow 2{a^3} + {b^3} + 6 \ge 2a\left( {a + 1} \right) + b\left( {b + 1} \right) + 3 = 2\left( {{a^2} + 1} \right) + \left( {{b^2} + 1} \right) + 2a + b.$
Lại áp dụng BĐT Côsi ta có: $\ 2\left( {{a^2} + 1} \right) + \left( {{b^2} + 1} \right) + 2a + b \ge 6a + 3b.$
Áp dụng BĐT phụ: $\ \left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \ge 9 \Leftrightarrow \frac{9}{{x + y + z}} \le \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}.$
$\ \Rightarrow \frac{1}{{2{a^3} + {b^3} + 6}} \le \frac{1}{3}.\frac{1}{{2a + b}} = \frac{1}{{27}}.\frac{9}{{a + a + b}} \le \frac{1}{{27}}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) = \frac{1}{{27}}\left( {\frac{2}{a} + \frac{1}{b}} \right).$
$\ \Rightarrow P \le \frac{1}{{27}}\left( {\frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} + \frac{2}{c} + \frac{1}{a}} \right) = \frac{3}{{27}}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \le \frac{1}{9}.3 = \frac{1}{3}.$
Vậy Max P = 1/3. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét