Tìm Min: $\ P = MA\sqrt 7 + MB\sqrt {11} + MC\sqrt {23} + MD\sqrt {43} .$

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Ngân Tồ hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc. M là một điểm bất kì trong không gian. Biết AB=4, AC=8, AD=12. Tìm giá trị nhỏ nhất của: $\ P = MA\sqrt 7  + MB\sqrt {11}  + MC\sqrt {23}  + MD\sqrt {43} .$
Giải:
Ban đầu ta sẽ "Đi tìm sự thật" về bộ số$\ \sqrt 7 ,\sqrt {11} ,\sqrt {23} ,\sqrt {43} .$
Thật vậy, trong các bài cực trị hình học, ở 2D khi cho một tam giác và một điểm M bất kỳ thì người ta sẽ quan tâm đến trọng tâm của tam giác đó. Trong 3D, khi cho tứ diện và một điểm M lơ lửng trong không gian thì người ta lại quan tâm đến trọng tâm của tứ diện đó.
Chọn $\ \left( {O;\,Ox,Oy,Oz} \right) \equiv \left( {A;AB,AC,AD} \right) \Rightarrow A\left( {0;0;0} \right),B\left( {4;0;0} \right),C\left( {0;8;0} \right),D\left( {0;0;12} \right).$

Do trọng tâm của tứ diện là giao điểm chung của 7 đường = 4 đường nối từ đỉnh đến trọng tâm của mặt đối diện + 3 đoạn nối trung điểm các cạnh đối.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD$\  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
M\left( {2;0;0} \right)\\
N\left( {0;4;6} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {1;2;3} \right).$
Khi đó: $\ \left\{ \begin{array}{l}
GA = \sqrt {1 + 4 + 9}  = \sqrt {14} ;{\mkern 1mu} GB = \sqrt {9 + 4 + 9}  = \sqrt {22} \\
GC = \sqrt {1 + 36 + 9}  = \sqrt {46} ;{\mkern 1mu} GD = \sqrt {1 + 4 + 81}  = \sqrt {86}
\end{array} \right.$
$\  \Rightarrow P\sqrt 2  = GA.MA + GB.MB + GC.MC + GD.MD.$
Áp dụng BĐT: $\ \overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \le \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\left( {cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \le 1} \right).$
$\  \Rightarrow P\sqrt 2  \ge \overrightarrow {GA} .\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {GB} .\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {GC} .\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {GD} .\overrightarrow {MD} .$
$\ \begin{array}{l}
 = \overrightarrow {GA} .\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA} } \right) + \overrightarrow {GB} .\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB} } \right) + \overrightarrow {GC} .\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} } \right) + \overrightarrow {GD} .\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GD} } \right)\\
 = \overrightarrow {MG} \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} } \right) + \left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right) = \overrightarrow {MG} .\overrightarrow 0  + 168 = 168\\
 \Rightarrow Min\,P = \frac{{168}}{{\sqrt 2 }} = 84\sqrt 2  \Leftrightarrow M \equiv G
\end{array}.$