Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1.
Chứng minh rằng: $\ \frac{{x\left( {y + z} \right)}}{{4 - 9yz}} + \frac{{y\left( {z + x} \right)}}{{4 - 9zx}} + \frac{{z\left( {x + y} \right)}}{{4 - 9xy}} \ge 6xyz.$
Giải:
BĐT cần chứng minh$\ \Leftrightarrow \frac{{y + z}}{{yz\left( {4 - 9yz} \right)}} + \frac{{z + x}}{{zx\left( {4 - 9zx} \right)}} + \frac{{x + y}}{{xy\left( {4 - 9xy} \right)}} \ge 6.$ (*)
Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức Côsi cho 2 số ta có:
$\ \begin{array}{l}
\frac{{y + z}}{{yz\left( {4 - 9yz} \right)}} \ge \frac{{2\sqrt {yz} }}{{yz\left( {4 - 9yz} \right)}} = \frac{2}{{\sqrt {yz} \left( {2 - 3\sqrt {yz} } \right)\left( {2 + 3\sqrt {yz} } \right)}} = \frac{2}{{\frac{1}{3}.3\sqrt {yz} \left( {2 - 3\sqrt {yz} } \right)\left( {2 + \frac{3}{2}.2\sqrt {yz} } \right)}}\\
\ge \frac{2}{{\frac{1}{3}.{{\left( {\frac{{3\sqrt {yz} + 2 - 3\sqrt {yz} }}{2}} \right)}^2}\left( {2 + \frac{{3\left( {y + z} \right)}}{2}} \right)}} = \frac{{12}}{{3\left( {y + z} \right) + 4}} \Rightarrow \frac{{y + z}}{{yz\left( {4 - 9yz} \right)}} \ge \frac{{12}}{{3\left( {y + z} \right) + 4}}
\end{array}.$
Tương tự ta có: $\ \frac{{z + x}}{{zx\left( {4 - 9zx} \right)}} \ge \frac{{12}}{{3\left( {z + x} \right) + 4}};\,\frac{{x + y}}{{xy\left( {4 - 9xy} \right)}} \ge \frac{{12}}{{3\left( {x + y} \right) + 4}}.$
Áp dụng BĐT phụ: $\ \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9 \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{a + b + c}}.$
Khi đó: $\ V{T_{\left( * \right)}} \ge 12\left( {\frac{1}{{3x + 3y + 4}} + \frac{1}{{3y + 3z + 4}} + \frac{1}{{3z + 3x + 4}}} \right) \ge \frac{{108}}{{6\left( {x + y + z} \right) + 12}} = 6 = V{P_{(*)}}.$
Vậy BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1/3.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét