Lượng giác hoá trong chứng minh BĐT.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Chuối Shady hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn x+y+z=xyz. CMR:$\ xy + yz + zx \ge 3 + \sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt {{y^2} + 1}  + \sqrt {{z^2} + 1} .$
Giải:
Trước hết thầy chứng minh lại cho con công thức:
"Nếu A, B, C là các góc của tam giác ABC thì: tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC"
Thật vậy, $\ \tan C = \tan \left[ {\pi  - \left( {A + B} \right)} \right] =  - \tan \left( {A + B} \right) =  - \frac{{\tan \,A + \tan B}}{{1 - \tan \,A\,\tan B}} = \frac{{\tan \,A + \tan B}}{{\tan \,A\,\tan B - 1}}.$
$\  \Leftrightarrow \tan C\left( {\tan \,A\,\tan B - 1} \right) = \tan \,A + \tan B \Leftrightarrow \tan \,A + \tan B + \tan C = \tan A\,.tanB.\tan C.$

Mỗi ngày một tính chất hình Oxy.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Shini Chan hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5,-7) , M là điểm sao cho$\ \overrightarrow {3MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 .$
Điểm C thuộc đường thẳng $\ {d_1}:x - y + 4 = 0.$. Đường thẳng đi qua D và M là $\ 7x - 67 - 57 = 0.$. Tìm tọa độ của B và C , biết điểm B có hoành độ âm.
Giải:

Gọi N là giao điểm của AC và DM.
Dễ dàng chứng minh tam giác ANM đồng dận với CND.
$\  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{AN}}{{CN}} = \frac{{AM}}{{CD}} = \frac{{AM}}{{AB}}\\
\overrightarrow {3MA}  + \overrightarrow {MB}  = \vec 0
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{AN}}{{CN}} = \frac{1}{4} \Rightarrow 4\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AC} .$

Ba cẩm nang thầy chuẩn bị cho các em tuần sau "ra trận".

$pageIn

$pageOut $pageIn

$pageOut $pageIn

$pageOut $pageIn

-----------------------Hẹn gặp lại trong bài khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau-----------------

$pageOut

Sử dụng PP hàm số, giải HPT.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Quỳnh Trang hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Giải hệ phương trình:$\ \left\{ \begin{array}{l}
2y\left( {4{y^2} + 3{x^2}} \right) = {x^4}\left( {{x^2} + 3} \right)\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
{2^x}\left( {\sqrt {2y - 2x + 5}  - x + 1} \right) = 4\,\,\left( 2 \right)\,
\end{array} \right.$
Giải:
Ta xét x = 0 khi đó y = 0, thế vào (2) ta thấy vô lí. Vậy khi đó ta chia cả 2 vế của (1) cho $\ {x^3}$:
$\ \left( 1 \right) \Leftrightarrow 8{y^3} + 6{x^2}y = {x^6} + 3{x^4} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{2y}}{x}} \right)^3} + 3\left( {\frac{{2y}}{x}} \right) = {x^3} + 3x.$

Lập PT đường thẳng không cần biết toạ độ 1 cặp điểm.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Burglar Tobi Tobi hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): $\ {\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 4.$ Và điểm E(4;1). Tìm toạ độ điểm M trên trục tung, sao cho từ M kẽ được 2 tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A,B là các tiếp điểm) sao cho AB đi qua E.
Giải:

Vì MA là tiếp tuyến nên MA vuông góc IA (I là tâm của (C)).
Gọi M(0;m) thuộc Oy $\  \Rightarrow M{I^2} = {m^2} + 16.$
Áp dụng Pi-ta-go vào tam giác vuông AMI ta có:
$\ A{M^2} = M{I^2} - {R^2} = {m^2} + 12.$
Khi đó đường tròn (C') tâm M bán kinh MA có PT:
$\ {x^2} + {\left( {y - m} \right)^2} = {m^2} + 12 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2my = 12.$
Khi đó toạ độ của A và B là nghiệm của HPT:
$\ \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 4\\
{x^2} + {y^2} - 2my = 12
\end{array} \right. \Rightarrow 4x - my - 12 = 0.$