Giải hệ phương trình:$\ \left\{ \begin{array}{l}
2y\left( {4{y^2} + 3{x^2}} \right) = {x^4}\left( {{x^2} + 3} \right)\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
{2^x}\left( {\sqrt {2y - 2x + 5} - x + 1} \right) = 4\,\,\left( 2 \right)\,
\end{array} \right.$
Giải:
Ta xét x = 0 khi đó y = 0, thế vào (2) ta thấy vô lí. Vậy khi đó ta chia cả 2 vế của (1) cho $\ {x^3}$:
$\ \left( 1 \right) \Leftrightarrow 8{y^3} + 6{x^2}y = {x^6} + 3{x^4} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{2y}}{x}} \right)^3} + 3\left( {\frac{{2y}}{x}} \right) = {x^3} + 3x.$
Xét hàm $\ f\left( t \right) = {t^3} + 3t,\,\forall t \Rightarrow f'\left( t \right) = 3\left( {{t^2} + 1} \right) \ge 1 > 0,\,\forall t \Rightarrow f\left( t \right)$ luôn đồng biến$\ \Rightarrow f\left( {\frac{{2y}}{x}} \right) = f\left( x \right) \Leftrightarrow \frac{{2y}}{x} = x \Leftrightarrow 2y = {x^2}.$
Thế vào PT (2) ta được: $\ {2^x}\left( {\sqrt {{x^2} - 2x + 5} - x + 1} \right) = 4 \Leftrightarrow \frac{{{2^x}.\left( {{x^2} - 2x + 5 - {x^2} + 2x - 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 5} + x - 1}} = 4 \Leftrightarrow {2^x} = \sqrt {{x^2} - 2x + 5} + x - 1.$
Đến đây dùng công cụ đạo hàm các em có thể chứng minh được:
Khi x > 1 thì $\ {2^x} > \sqrt {{x^2} - 2x + 5} + x - 1.$
Và khi x < 1 thì $\ {2^x} < \sqrt {{x^2} - 2x + 5} + x - 1.$
Vậy x = 1 là nghiệm cần tìm. Vậy S={(1;1/2)}
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét